次の文章は，静電容量と接地抵抗に関する記述である。文中のに当てはまる最も適切なものを解答群の中から選びなさい。
図1で示すように，半径 \(a\) の導体球の周囲は，誘電率 \(\varepsilon\) の一様な誘電体で満たされている。導体球は電荷 \(+Q\) に帯電している。球の周囲の電界 \(E\) は，球の中心からの距離を \(r \, (r > a)\) とすると，(1) であり，無限遠を零としたときの導体球の電位 \(V\) は (2) と求められるから，無限遠と導体球間の静電容量 \(C\) は (3) である。これらの式の導出は，以下の三つの基本式
\[ Q = CV \qquad \qquad Q = \int_{S} \mathbf{D} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} \qquad \qquad \mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E} \]
のもとに導出される結果である。ただし，\(\mathbf{D}\) は電束密度ベクトル，\(\mathbf{E}\) は電界ベクトルであり，導体球を囲む任意の閉曲面 \(S\) 上の面素ベクトルを \(\mathrm{d}\mathbf{S}\) とする。
次に，図2に示すように，導体球の周囲が導電率 \(\sigma\) の一様な抵抗体で満たされているとすると，抵抗体には以下の三つの基本式が成り立つ。
\[ V = RI \qquad \qquad I = \int_{S} \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} \qquad \qquad \mathbf{J} = \sigma \mathbf{E} \]
ただし，\(R\) は抵抗，\(I\) は電流，\(\mathbf{J}\) は電流密度ベクトルである。これらの基本式の相似性から，無限遠と導体球間の抵抗 \(R\) は (4) と求めることができる。
この結果より，導電率 \(2.0 \times 10^{-2} \ [\mathrm{S/m}]\) の大地表面に図3のように半径 \(1.25 \ [\mathrm{m}]\) の導体半球電極を埋め込んだときの接地抵抗は (5) \([\Omega]\) である。半球の場合，有効な表面積は半分になることに注意せよ。
解答群
| (ｲ) |
\(\displaystyle \frac{Q}{2\pi\varepsilon a}\) |
(ﾛ) |
\(\displaystyle \frac{Q}{2\pi\varepsilon}\ln\frac{r}{a}\) |
(ﾊ)(3) |
\(\displaystyle 4\pi\varepsilon a\) |
| (ﾆ)(5) |
\(\displaystyle 6.4\) |
(ﾎ) |
\(\displaystyle 4\pi\sigma a\) |
(ﾍ)(4) |
\(\displaystyle \frac{1}{4\pi\sigma a}\) |
| (ﾄ) |
\(\displaystyle 2\pi\varepsilon\ln\frac{r}{a}\) |
(ﾁ) |
\(\displaystyle \frac{Q}{2\pi\varepsilon r}\) |
(ﾘ) |
\(\displaystyle \frac{1}{2\pi\sigma a}\) |
| (ﾇ) |
\(\displaystyle \frac{Q}{2\pi\varepsilon r^2}\) |
(ﾙ) |
\(\displaystyle 2\pi\varepsilon a\) |
(ｦ) |
\(\displaystyle 3.2\) |
| (ﾜ)(1) |
\(\displaystyle \frac{Q}{4\pi\varepsilon r^2}\) |
(ｶ) |
\(\displaystyle 0.16\) |
(ﾖ)(2) |
\(\displaystyle \frac{Q}{4\pi\varepsilon a}\) |
出典：平成23年度 第一種電気主任技術者 一次試験 理論科目 問5
解説
あまり難しいことは問われていません。冷静に解けるようになりたい問題です。
導体球の中心からの距離\(r\)における電界\(E\)
正解 (ワ)
電験一種受験者であればすぐに答えが(ワ)の\(\displaystyle \frac{Q}{4\pi\varepsilon r^2}\)であることは分かるかと思います。以下、一応問題文に与えられた基本式を用いて導出します。
$$\begin{aligned}
Q &= \int_S \boldsymbol{D} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} \\
&= \int_S (\boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{n}) \,\mathrm{d}S \\
&= \int_S D \,\mathrm{d}S \\
&= D \int_S \mathrm{d}S \\
&= D \times 4\pi r^2 \\
&= \varepsilon E \times 4\pi r^2 \\
\end{aligned}$$
よって
$$\begin{aligned}
E &= \dfrac{Q}{ 4\pi \varepsilon r^2 } \\
\end{aligned}$$
となります。
無限遠を基準とした導体球の電位\(V\)
正解 (ヨ)
これも慣れている人ならすぐ分かると思います。以下無限遠を零として積分した結果です。
$$\begin{aligned}
V &= -\int_{\infty}^{a} E \,\mathrm{d}r \\
&= \int_{a}^{\infty} E \,\mathrm{d}r \\
&= \int_{a}^{\infty} \frac{Q}{4\pi \varepsilon r^2} \,\mathrm{d}r \\
&= \frac{Q}{4\pi \varepsilon} \int_{a}^{\infty} \frac{1}{r^2} \,\mathrm{d}r \\
&= \frac{Q}{4\pi \varepsilon} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{a}^{\infty} \\
&= \frac{Q}{4\pi \varepsilon} \left[ \left( -\frac{1}{\infty} \right) - \left( -\frac{1}{a} \right) \right] \\
&= \frac{Q}{4\pi \varepsilon a} \\
\end{aligned}$$
よって答えは(ヨ)の\(\displaystyle \frac{Q}{4\pi\varepsilon a}\)です。
無限遠と導体球間の静電容量\(C\)
正解 (ハ)
問題文にある通り、\(Q=CV\)なので、(2)の式より
$$\begin{aligned}
Q &= CV\\
Q &= C \cdot \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon a}\\
C &= 4\pi\varepsilon a \\
\end{aligned}$$
よって答えは(ハ)の\(\displaystyle 4\pi\varepsilon a\)です。
無限遠と導体球間の抵抗\(R\)
正解 (ヘ)
電流密度\(\boldsymbol{J}\)が放射状に出ていることから、(1)～(3)と同様の考えで抵抗\(R\)を求められます。
$$\begin{aligned}
I &= \int_S \boldsymbol{J} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} \\
&= \int_S (\boldsymbol{J} \cdot \boldsymbol{n}) \,\mathrm{d}S \\
&= \int_S J \,\mathrm{d}S \\
&= J \int_S \mathrm{d}S \\
&= J \times 4\pi r^2 \\
&= \sigma E \times 4\pi r^2
\end{aligned}$$
よって
$$\begin{aligned}
E &= \dfrac{I}{ 4\pi \sigma r^2 } \\
\end{aligned}$$
となります。
無限遠を零として\(V\)を求めます。
$$\begin{aligned}
V &= -\int_{\infty}^{a} E \,\mathrm{d}r \\
&= \int_{a}^{\infty} E \,\mathrm{d}r \\
&= \int_{a}^{\infty} \frac{I}{4\pi \sigma r^2} \,\mathrm{d}r \\
&= \frac{I}{4\pi \sigma} \int_{a}^{\infty} \frac{1}{r^2} \,\mathrm{d}r \\
&= \frac{I}{4\pi \sigma} \left[-\frac{1}{r}\right]_{a}^{\infty} \\
&= \frac{I}{4\pi \sigma} \left[\left(-\frac{1}{\infty}\right) - \left(-\frac{1}{a}\right)\right] \\
&= \frac{I}{4\pi \sigma a}
\end{aligned}$$
\(R\)を求めます。
$$\begin{aligned}
V &= RI \\
\frac{I}{4\pi \sigma a} &= RI \\
R &= \frac{1}{4\pi \sigma a} \\
\end{aligned}$$
よって答えは(ヘ)の\(\displaystyle \frac{1}{4\pi\sigma a}\)です。
導体半球電極の接地抵抗の計算値
正解 (ニ)
問題文に有効な表面積は半分になることに注意せよとあります。これは表面積が\(\dfrac{1}{2}\)になったことによって抵抗が\(2\)倍になることを意味します。
上記を踏まえて数値を代入します。
$$\begin{aligned}
R &= \frac{2}{4 \times \pi \times (2.0 \times 10^{-2}) \times 1.25} \\
&= \frac{1}{5.0 \times 10^{-2} \times \pi} \\
&= \frac{100}{5\pi} = \frac{20}{\pi} \\
&\fallingdotseq 6.366\\
\end{aligned}$$
よって、答えは(ニ)の\(\displaystyle 6.4\)です。
(1)
ワ
\(\displaystyle \frac{Q}{4\pi\varepsilon r^2}\)
(2)
ヨ
\(\displaystyle \frac{Q}{4\pi\varepsilon a}\)
(3)
ハ
\(\displaystyle 4\pi\varepsilon a\)
(4)
ヘ
\(\displaystyle \frac{1}{4\pi\sigma a}\)
(5)
ニ
\(\displaystyle 6.4\)