解説
求めなければいけない項目が少ないため比較的時間を要せずに解けると思います。
\(\dot{V}_{\text{ab}}\)を基準とした線電流\( \dot{I}_{\text{a}} \)
正解 (ヲ)
下図のように\( \dot{I}_{\text{ab}} \)、\( \dot{I}_{\text{bc}} \)、\( \dot{I}_{\text{ca}} \)を求めてそこから\( \dot{I}_{\text{a}} \)を計算します。
\( \dot{I}_{\text{ab}} \)、\( \dot{I}_{\text{bc}} \)、\( \dot{I}_{\text{ca}} \)は以下です。
$$\begin{aligned}
\dot{I}_{\mathrm{ab}} &= \frac{\dot{V}_{\mathrm{ab}}}{R} \\
\dot{I}_{\mathrm{bc}} &= \frac{\dot{V}_{\mathrm{bc}}}{-jX} = j\frac{\dot{V}_{\mathrm{bc}}}{X} \\
\dot{I}_{\mathrm{ca}} &= \frac{\dot{V}_{\mathrm{ca}}}{jX} = -j\frac{\dot{V}_{\mathrm{ca}}}{X} \\
\end{aligned}$$
\(\dot{V}_{\text{ab}} = V \angle 0^{\circ}\)を基準として整理します。対象三相電圧なので、\(\dot{V}_{\mathrm{bc}} = V e^{-j\frac{2\pi}{3}} \)、\( \dot{V}_{\mathrm{ca}} = V e^{-j\frac{4\pi}{3}} \)です。
$$\begin{aligned}
\dot{I}_{\mathrm{ab}} &= \frac{V}{R} \\
\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}
\dot{I}_{\mathrm{bc}} &= j\frac{\dot{V}_{\mathrm{bc}}}{X} \\
&= j\frac{V}{X}e^{-j\frac{2\pi}{3}} \\
&= j \frac{V}{X} \left( -\frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \\
&= \frac{\sqrt{3}V}{2X} - j\frac{V}{2X} \\
\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}
\dot{I}_{\mathrm{ca}} &= -j\frac{\dot{V}_{\mathrm{ca}}}{X} \\
&= -j \frac{V}{X} e^{-j\frac{4\pi}{3}} \\
&= -j\frac{V}{X} \left( -\frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \\
&= \frac{\sqrt{3}V}{2X} + j\frac{V}{2X} \\
\end{aligned}$$
\( \dot{I}_{\text{a}} \)を求めます。
$$\begin{aligned}
\dot{I}_{\mathrm{a}} &= \dot{I}_{\mathrm{ab}} - \dot{I}_{\mathrm{ca}} \\
&= \frac{V}{R} - \left( \frac{\sqrt{3}V}{2X} + j\frac{V}{2X} \right) \\
&= \left( \frac{V}{R} - \frac{\sqrt{3}V}{2X} \right) - j\frac{V}{2X} \\
&= \left[ \left( \frac{1}{R} - \frac{\sqrt{3}}{2X} \right) - \mathrm{j}\frac{1}{2X} \right] V \\
\end{aligned}$$
よって、答えは(ヲ)の\(\displaystyle \left[ \left( \frac{1}{R} - \frac{\sqrt{3}}{2X} \right) - \mathrm{j}\frac{1}{2X} \right] V\)です。
\(\dot{V}_{\text{ab}}\)を基準とした線電流\( \dot{I}_{\text{b}} \)
正解 (ハ)
同様に\( \dot{I}_{\text{b}} \)を求めます。
$$\begin{aligned}
\dot{I}_{\mathrm{b}} &= \dot{I}_{\mathrm{bc}} - \dot{I}_{\mathrm{ab}} \\
&= \left( \frac{\sqrt{3}V}{2X} - j\frac{V}{2X} \right) - \frac{V}{R} \\
&= \left( \frac{\sqrt{3}V}{2X} - \frac{V}{R} \right) - j\frac{V}{2X} \\
&= \left[ -\left(\frac{1}{R} - \frac{\sqrt{3}}{2X} \right) - j\frac{1}{2X} \right] V \\
\end{aligned}$$
よって答えは(ハ)の\(\displaystyle \left[ -\left( \frac{1}{R} - \frac{\sqrt{3}}{2X} \right) - \mathrm{j}\frac{1}{2X} \right] V\)です。
\(\dot{V}_{\text{ab}}\)を基準とした線電流\( \dot{I}_{\text{c}} \)
正解 (ワ)
同様に\( \dot{I}_{\text{c}} \)を求めます。
$$\begin{aligned}
\dot{I}_{\mathrm{c}} &= \dot{I}_{\mathrm{ca}} - \dot{I}_{\mathrm{bc}} \\
&= \left( \frac{\sqrt{3}V}{2X} + j\frac{V}{2X} \right) - \left( \frac{\sqrt{3}V}{2X} - j\frac{V}{2X} \right) \\
&= \left( \frac{\sqrt{3}V}{2X} - \frac{\sqrt{3}V}{2X} \right) + j\left( \frac{V}{2X} + \frac{V}{2X} \right) \\
&= j\frac{V}{X} \\
\end{aligned}$$
となります。よって答えは (ワ)の\(\displaystyle \mathrm{j}\frac{1}{X}V\)です。
対象三相の線電流を流すための抵抗\(R\)
正解 (ニ)
対象三相なので、各電流の位相が120°ずつズレている必要があります。(1)～(3)より、\( \dot{I}_{\text{c}} \)が\(R\)が含まれておらず簡単なので、これの位相を120°遅らせた\( \dot{I}_{\text{c}}' \)が\( \dot{I}_{\text{a}} \)と等しいとして等式を立てます。
$$\begin{aligned}
\dot{I}_{\text{c}}' &= \left( j\frac{V}{X} \right) e^{-j\frac{2\pi}{3}} \\
&= j\frac{V}{X} \left( -\frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \\
&= \left( \frac{\sqrt{3}}{2X} - j\frac{1}{2X} \right) V \\
\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}
\dot{I}_{\mathrm{a}} &= \dot{I}_{\text{c}}' \\
\left[ \left( \frac{1}{R} - \frac{\sqrt{3}}{2X} \right) - j\frac{1}{2X} \right] V &= \left( \frac{\sqrt{3}}{2X} - j\frac{1}{2X} \right) V \\
\left( \frac{1}{R} - \frac{\sqrt{3}}{2X} \right) - j\frac{1}{2X} &= \frac{\sqrt{3}}{2X} - j\frac{1}{2X} \\
\end{aligned}$$
これの実部と虚部がそれぞれ等しいときに対称三相電流が流れているといえます。\(R\)があるのは実部のため、実部が等しいとして\(R\)を求めます。
(余裕があれば\(\dot{I}_{\mathrm{b}}\)でも確かめるべきかと思いますが、問題を解くだけならここをクリアできれば正解になります。)
$$\begin{aligned}
\frac{1}{R} - \frac{\sqrt{3}}{2X} &= \frac{\sqrt{3}}{2X} \\
\frac{1}{R} &= \frac{\sqrt{3}}{X} \\
R &= \frac{X}{\sqrt{3}} \\
\end{aligned}$$
よって答えは(ニ)の\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}X\)です。
電力計1,2の指示\(W_1\),\(W_2\)
正解 (リ)
(4)で求めた結果を用いて\(\dot{I}_{\mathrm{a}}\)を求めます。
$$\begin{aligned}
\dot{I}_{\mathrm{a}} &= \left[ \left( \frac{1}{R} - \frac{\sqrt{3}}{2X} \right) - j\frac{1}{2X} \right] V \\
&= \left[ \left( \frac{\sqrt{3}}{X} - \frac{\sqrt{3}}{2X} \right) - j\frac{1}{2X} \right] V \\
&= \left( \frac{\sqrt{3}}{2X} - j\frac{1}{2X} \right) V
\end{aligned}$$
\(W_1\)は\( -\dot{V}_{\mathrm{ca}} \)を見ているので、これを求めます。
$$\begin{aligned}
-\dot{V}_{\mathrm{ca}} &= \dot{V}_{\mathrm{ac}} \\
&= \left( \frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2} \right) V\\
\end{aligned}$$
\(W_1\)を求めます。
$$\begin{aligned}
W_1 &= \operatorname{Re} [ \dot{V}_{\mathrm{ac}} \overline{\dot{I}_{\mathrm{a}}}] \\
&= \operatorname{Re} \left[ \left( \frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \left( \frac{\sqrt{3}}{2X} + j\frac{1}{2X} \right) V^2 \right] \\
&= \operatorname{Re} \left[ \left( \frac{\sqrt{3}}{4X} + j\frac{1}{4X} - j\frac{3}{4X} +\frac{\sqrt{3}}{4X} \right) V^2 \right] \\
&= \operatorname{Re} \left[ \left( \frac{\sqrt{3}}{4X} - j\frac{2}{4X} + \frac{\sqrt{3}}{4X} \right) V^2 \right] \\
&= \operatorname{Re} \left[ \left( \frac{\sqrt{3}}{2X} - j\frac{1}{2X} \right) V^2 \right] \\
&= \frac{\sqrt{3}V^2}{2X} \\
\end{aligned}$$
\(W_2\)を求めます。まずは\(\dot{I}_{\mathrm{b}}\)を求めます。
$$\begin{aligned}
\dot{I}_{\mathrm{b}} &= \left[ -\left( \frac{\sqrt{3}}{X} - \frac{\sqrt{3}}{2X} \right) - j\frac{1}{2X} \right] V \\
&= \left( -\frac{\sqrt{3}}{2X} - j\frac{1}{2X} \right) V \\
\end{aligned}$$
電圧に注意して\(W_2\)を求めます。
$$\begin{aligned}
W_2 &= \operatorname{Re} [ \dot{V}_{\mathrm{bc}} \overline{\dot{I}_{\mathrm{b}}} ] \\
&= \operatorname{Re} \left[ \left( -\frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \left( -\frac{\sqrt{3}}{2X} + j\frac{1}{2X} \right) V^2 \right] \\
&= \operatorname{Re} \left[ \left( \frac{\sqrt{3}}{4X} - j\frac{1}{4X} + j\frac{3}{4X} +\frac{\sqrt{3}}{4X} \right) V^2 \right] \\
&= \operatorname{Re} \left[ \left( \frac{\sqrt{3}}{4X} + j\frac{2}{4X} + \frac{\sqrt{3}}{4X} \right) V^2 \right] \\
&= \operatorname{Re} \left[ \left( \frac{\sqrt{3}}{2X} + j\frac{1}{2X} \right) V^2 \right] \\
&= \frac{\sqrt{3}V^2}{2X} \\
\end{aligned}$$
よって、答えは(リ)の\(\displaystyle W_1 = \frac{\sqrt{3}}{2X}V^2 , \ W_2 = \frac{\sqrt{3}}{2X}V^2\)です。
(1)
ヲ
\(\displaystyle \left[ \left( \frac{1}{R} - \frac{\sqrt{3}}{2X} \right) - \mathrm{j}\frac{1}{2X} \right] V\)
(2)
ハ
\(\displaystyle \left[ -\left( \frac{1}{R} - \frac{\sqrt{3}}{2X} \right) - \mathrm{j}\frac{1}{2X} \right] V\)
(3)
ワ
\(\displaystyle \mathrm{j}\frac{1}{X}V\)
(4)
ニ
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}X\)
(5)
リ
\(\displaystyle W_1 = \frac{\sqrt{3}}{2X}V^2 , \ W_2 = \frac{\sqrt{3}}{2X}V^2\)
