次の文章は，直流回路に関する記述である。文中のに当てはまるものを解答群の中から選びなさい。
図1に示す平衡条件を満たすブリッジ回路において，抵抗 \(R_2\) に抵抗 \(3R_2\) を直列又は並列に接続したときに，電流計に流れる電流を補償定理を使って求めてみよう。ただし，\(E\) は直流電圧源の大きさであり，電圧源と電流計の内部抵抗は無視できるものとする。
図1では電流計には電流は流れていない。したがって，題意の電流を求めるとき，\(3R_2\) を接続したことによる変化分を考えればよい。
補償定理によれば，\(3R_2\) を直列に接続したことによる電流の変化分は，図2に示す回路で計算できる。\(R_2\) と \(3R_2\) に接続される電圧源の大きさ \(E'\) は (1) となるから，電流計に流れる電流 \(I_1\) は (2) となる。
同様に，\(R_2\) と並列に \(3R_2\) を接続したときに電流計に流れる電流 \(I_2\) は，図3に示す回路で計算できる。\(R_2\) に \(3R_2\) を並列に接続したことによる \(R_2\) に対する抵抗の変化分の絶対値は (3) となる。したがって，電圧源の大きさ \(E''\) は (4) となり，\(I_2\) は (5) となる。
解答群
| (ｲ)(5) |
\(\displaystyle \frac{E}{11R_1+9R_2}\) |
(ﾛ) |
\(\displaystyle \frac{E}{16R_1+12R_2}\) |
(ﾊ) |
\(\displaystyle \frac{E}{R_1+2R_2}\) |
| (ﾆ) |
\(\displaystyle \frac{3R_2}{R_1+4R_2}E\) |
(ﾎ)(2) |
\(\displaystyle \frac{E}{2R_1+4R_2}\) |
(ﾍ) |
\(\displaystyle \frac{E}{8R_1+6R_2}\) |
| (ﾄ) |
\(\displaystyle \frac{R_2E}{2R_1+4R_2}\) |
(ﾁ)(3) |
\(\displaystyle \frac{R_2}{4}\) |
(ﾘ) |
\(\displaystyle \frac{3}{4}E\) |
| (ﾇ)(1) |
\(\displaystyle \frac{3R_2}{R_1+R_2}E\) |
(ﾙ) |
\(\displaystyle 2R_2\) |
(ｦ) |
\(\displaystyle \frac{3R_2}{4}\) |
| (ﾜ) |
\(\displaystyle \frac{R_2E}{11R_1+9R_2}\) |
(ｶ) |
\(\displaystyle \frac{2R_2E}{R_1+R_2}\) |
(ﾖ)(4) |
\(\displaystyle \frac{R_2E}{4(R_1+R_2)}\) |
出典：平成23年度 第一種電気主任技術者 一次試験 理論科目 問2
解説
補償定理とは、回路内の任意のインピーダンスを \(Z\) から \(Z + \Delta Z\) へ変化させたときの各部の電流・電圧の変化を、「元の回路に \(\Delta V = I \cdot \Delta Z\) という逆向きの仮想的な電圧源（補償電圧源）を挿入した効果」として置き換えて計算できる定理です。
補償定理を覚えていなくても(2)、(3)、(5)は解けます。簡単そうに見えて時間が掛かる問題なので、本番では他の問題を解いてから解いた方がいいかもしれません。
\(R_2\) と \(3R_2\) に接続される電圧源の大きさ \(E'\)
正解 (ヌ)
電流計には初期状態では電流は流れていないので、\(R_2\)を流れている電流\(I\)は
$$\begin{aligned}
I &= \dfrac{E}{R_1+R_2} \\
\end{aligned}$$
です。
補償定理より、\(E'\)は抵抗の変化分\(3R_2\)ともともと流れていた電流\(I\)の積になりますから、
$$\begin{aligned}
E' &= 3R_2I \\
&= \dfrac{3R_2}{R_1+R_2}E \\
\end{aligned}$$
となりますので、答えは（ヌ）の\(\dfrac{3R_2}{R_1+R_2}E\)です。
電流計に流れる電流 \(I_1\)
正解 (ホ)
図2を整理すると以下のようになります。
合成抵抗を計算し回路をシンプルにします。
なんでもいいので解ける方法で解きます。ここではミルマンの定理を使って解きます。開放電圧\(V_B\)を求めます。
$$\begin{aligned}
V_B &= \dfrac{\dfrac{1}{\dfrac{2R_1 R_2}{R_1 + R_2}} \cdot 0 + \dfrac{1}{4R_2} \cdot E' + \dfrac{1}{R_1} \cdot 0}{\dfrac{1}{\dfrac{2R_1 R_2}{R_1 + R_2}} + \dfrac{1}{4R_2} + \dfrac{1}{R_1}} \\
&= \dfrac{ E'}{\dfrac{R_1 + R_2}{2R_1 R_2} + \dfrac{1}{4R_2} + \dfrac{1}{R_1}} \cdot \dfrac{1}{4R_2} \\
&= \dfrac{ E'}{\dfrac{R_1 + R_2}{2R_1 R_2} + \dfrac{1}{4R_2} + \dfrac{1}{R_1}} \cdot \dfrac{R_1}{4R_1R_2} \\
&= \dfrac{ R_1E'}{2\left(R_1 + R_2\right) + R_1 + 4R_2} \\
&= \dfrac{ R_1E'}{3R_1 + 6R_2} \\
\end{aligned}$$
\(V_B\)を求められたので、これによる電流\(I_1\)を求めます。
$$\begin{aligned}
I_1 &= V_B \cdot \dfrac{R_1 + R_2}{2R_1R_2} \\
&= \dfrac{ R_1E'}{3R_1 + 6R_2} \cdot \dfrac{R_1 + R_2}{2R_1R_2} \\
&= \dfrac{ R_1}{3R_1 + 6R_2} \cdot \dfrac{R_1 + R_2}{2R_1R_2} \cdot \dfrac{3R_2}{R_1+R_2}E\\
&= \dfrac{ 1}{3R_1 + 6R_2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{1}E\\
&= \dfrac{ E}{2R_1 + 4R_2} \\
\end{aligned}$$
上記より、答えは(ホ)の\(\displaystyle \frac{E}{2R_1+4R_2}\)です。
\(R_2\) に \(3R_2\) を並列に接続したことによる \(R_2\) に対する抵抗の変化分の絶対値
正解 (チ)
ここは\(R_2\)と\(R_2\)と\(3R_2\)の合成抵抗の差を出すだけなので難しくありません。
$$\begin{aligned}
R_2-\dfrac{R_2 \cdot 3R_2}{R_2 + 3R_2} &= R_2 - \dfrac{3}{4} R_2\\
&= \dfrac{R_2}{4} \\
\end{aligned}$$
となります。よって正解は (チ) の\(\displaystyle \frac{R_2}{4}\)です。
電圧源の大きさ \(E''\)
正解 (ヨ)
ここも(1)と同じくもともと流れていた電流\(I\)と抵抗の変化分の積となります。ただし、(1)と異なり抵抗の変化は減なので電圧源の向きは逆となります。(問題を解く分には関係なし)
$$\begin{aligned}
E'' &= \dfrac{R_2I}{4} \\
&= \dfrac{R_2}{4} \cdot \dfrac{E}{R_1+R_2} \\
&= \frac{R_2E}{4(R_1+R_2)} \\
\end{aligned}$$
よって答えは(ヨ)の\(\displaystyle \frac{R_2E}{4(R_1+R_2)}\)です。
\(I_2\)
正解 (イ)
(2)と同じくミルマンの定理を使って解きます。(2)と電圧源のある部分の抵抗が違うことを考慮します。
$$\begin{aligned}
V_B &= \dfrac{\dfrac{1}{\dfrac{2R_1 R_2}{R_1 + R_2}} \cdot 0 + \dfrac{1}{\dfrac{3R_2}{4}} \cdot E'' + \dfrac{1}{R_1} \cdot 0}{\dfrac{1}{\dfrac{2R_1 R_2}{R_1 + R_2}} + \dfrac{1}{\dfrac{3R_2}{4}} + \dfrac{1}{R_1}} \\
&= \dfrac{ E''}{\dfrac{R_1 + R_2}{2R_1 R_2} + \dfrac{4}{3R_2} + \dfrac{1}{R_1}} \cdot \dfrac{4}{3R_2} \\
&= \dfrac{ E''}{\dfrac{R_1 + R_2}{2R_1 R_2} + \dfrac{4}{3R_2} + \dfrac{1}{R_1}} \cdot \dfrac{8R_1}{6R_1R_2} \\
&= \dfrac{ 8R_1E''}{3\left(R_1 + R_2\right) + 8R_1 + 6R_2} \\
&= \dfrac{ 8R_1E''}{11R_1 + 9R_2} \\
\end{aligned}$$
\(V_B\)が分かったので電流\(I_2\)を求めます。
$$\begin{aligned}
I_2 &= V_b \cdot \dfrac{R_1 + R_2}{2R_1R_2} \\
&= \dfrac{ 8R_1E''}{11R_1 + 9R_2} \cdot \dfrac{R_1 + R_2}{2R_1R_2} \\
&= \dfrac{ 8R_1}{11R_1 + 9R_2} \cdot \dfrac{R_1 + R_2}{2R_1R_2} \cdot \frac{R_2E}{4(R_1+R_2)}\\
&= \frac{E}{11R_1+9R_2} \\
\end{aligned}$$
となるので、答えは(イ)の\(\displaystyle \frac{E}{11R_1+9R_2}\)です。
(1)
ヌ
\(\displaystyle \frac{3R_2}{R_1+R_2}E\)
(2)
ホ
\(\displaystyle \frac{E}{2R_1+4R_2}\)
(3)
チ
\(\displaystyle \frac{R_2}{4}\)
(4)
ヨ
\(\displaystyle \frac{R_2E}{4(R_1+R_2)}\)
(5)
イ
\(\displaystyle \frac{E}{11R_1+9R_2}\)
