次の文章は，相互インダクタンスに関する記述である。文中のに当てはまるものを解答群の中から選びなさい。
図のような，直線状の無限長導体に流れる電流と正三角形状の導体 \(\text{ABC}\) に流れる電流を考える。ここで，辺\(\text{AC}\)は無限長導体と平行で，無限長導体との距離を\(a\)，頂点 \(\text{B}\) の無限長導体との距離を \(b\)，正三角形の一辺の長さを \(l\) とする。このとき，二つの導体間の相互インダクタンスを求めたい。なお，無限長導体と正三角形状の導体 \(\text{ABC}\) は同一平面上に存在し，導体の太さは無視できるものとする。
三角形 \(\text{ABC}\) は正三角形で，辺 \(\text{AC}\) は無限長導体と平行であるから，\(b\) を \(a\) 及び \(l\) で表すと，次式となる。
\( b = \)(1)
また，辺 \(\text{AB}\) 及び辺 \(\text{BC}\) 上に，無限長導体から距離 \(x \, (a \leqq x \leqq b)\) の位置の点 \(\text{A}'\) 及び \(\text{C}'\) を考えると，線分 \(\text{A}'\text{C}'\) の長さ \(l'\) は，次式で表される。
\( l' = \)(2)
これより，無限長導体に流れる電流 \(I\) による磁束のうち，図中の斜線部分（長さ \(l'\)，幅 \(\mathrm{d}x\)）に鎖交する磁束 \(\mathrm{d}\varPhi\) は次式で表される。ここで，空間の透磁率を \(\mu_0\) とする。
\( \mathrm{d}\varPhi = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi} ( \)(3)\( ) \mathrm{d}x \)
これを \(x\) について \(a\) から \(b\) まで積分することで，無限長導体に流れる電流が作る磁束のうち，正三角形 \(\text{ABC}\) の内部に鎖交する磁束 \(\varPhi\) は次式で与えられる。
\(\displaystyle \varPhi = \int_{a}^{b} \frac{\mu_0 I}{2\pi} ( \)(3)\( ) \mathrm{d}x = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi} ( \)(4)\( ) \)
相互インダクタンス \(M\) は，\(\varPhi\) と \(I\) を用いた定義式
\( M = \)(5)\( \)
より，求めることができる。
解答群
| (ｲ)(4) |
\(\displaystyle \left(l + \frac{2}{\sqrt{3}}a \right) \ln \left( 1 + \frac{\sqrt{3}l}{2a} \right) - l\) |
(ﾛ) |
\(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{2a}{\sqrt{3}x}\) |
(ﾊ) |
\(\displaystyle \frac{1}{x^2}\left( l - \frac{2}{\sqrt{3}}x + \frac{2}{\sqrt{3}}a \right)\) |
| (ﾆ) |
\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}l}{2}\left( l + \frac{2}{\sqrt{3}}a - \frac{2}{\sqrt{3}}x \right)\) |
(ﾎ)(1) |
\(\displaystyle a + \frac{\sqrt{3}}{2}l\) |
(ﾍ)(3) |
\(\displaystyle \frac{1}{x}\left( l + \frac{2}{\sqrt{3}}a \right) - \frac{2}{\sqrt{3}}\) |
| (ﾄ) |
\(\displaystyle \frac{1}{2}\Phi I^2\) |
(ﾁ) |
\(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}a + l\) |
(ﾘ) |
\(\displaystyle \Phi I\) |
| (ﾇ)(2) |
\(\displaystyle l - \frac{2}{\sqrt{3}}(x - a)\) |
(ﾙ) |
\(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}(x - a)\) |
(ｦ) |
\(\displaystyle a + \frac{1}{2}l\) |
| (ﾜ) |
\(\displaystyle \left(l + \frac{2}{\sqrt{3}}a \right) \ln \left( 1 + \frac{\sqrt{3}l}{2a} \right) - \frac{l}{\sqrt{3}}\) |
(ｶ)(5) |
\(\displaystyle \frac{\Phi}{I}\) |
(ﾖ) |
\(\displaystyle \frac{al}{x}\) |
出典：平成23年度 第一種電気主任技術者 一次試験 理論科目 問1
解説
相互インダクタンスの問題ではありますが、どちらかというと数学が得意な人に有利な問題です。とはいえ過去問で慣れていれば難しい問題ではありません。
\(b\)を\(a\)および\(l\)で表す
正解 (ホ)
三角形 \(\text{ABC}\) は正三角形なので、図より、
$$\begin{aligned}
b &= a + l\cos \dfrac{\pi}{6} \\
&= a+ \dfrac{\sqrt{3}}{2} l \\
\end{aligned}$$
となりますので、正解は (ホ) の \(\displaystyle a + \frac{\sqrt{3}}{2}l\)です。
線分 \(\text{A}'\text{C}'\) の長さ \(l'\)
正解 (ヌ)
下図より、\(\displaystyle l' = 2 (b - x) \tan\frac{\pi}{6}\)であることが分かります。ただし、解答に\(b\)は使えないことから(1)の答えを用いて\(b\)を消去します。
$$\begin{aligned}
l' &= 2 (b - x) \tan\frac{\pi}{6} \\
&= \dfrac{2}{\sqrt{3}} (b - x) \\
&= \dfrac{2}{\sqrt{3}} (a+ \dfrac{\sqrt{3}}{2} l - x) \\
&= l - \frac{2}{\sqrt{3}}(x - a) \\
\end{aligned}$$
上記より、答えは(ヌ)の\(\displaystyle l - \frac{2}{\sqrt{3}}(x - a)\)です。
斜線部分に鎖交する磁束 \(\mathrm{d}\varPhi\)
正解 (ヘ)
\( \mathrm {A^{\prime }C^{\prime }} \)上の磁束密度\(B\)は
$$\begin{aligned}
B &= \frac {\mu _{0}I}{2\pi x} \\
\end{aligned}$$
です。鎖交する磁束\( \mathrm{d}\Phi \)は、これと微小面積\( \mathrm{d}S = l^{\prime } \mathrm{d}x \)の積なので
$$\begin{aligned}
\mathrm{d}\Phi &= B l^{\prime } \mathrm{d}x\\
&= \frac {\mu _{0}I}{2\pi x} l^{\prime } \mathrm{d}x \\
&= \frac {\mu _{0}I}{2\pi x} \left\{ l - \frac{2}{\sqrt{3}}(x - a) \right\} \mathrm{d}x \\
&= \frac {\mu _{0}I}{2\pi } \left\{ \frac{l}{x} - \frac{2}{\sqrt{3}x}(x - a) \right\} \mathrm{d}x \\
&= \frac {\mu _{0}I}{2\pi } \left\{ \frac{1}{x}\left( l + \frac{2}{\sqrt{3}}a \right) - \frac{2}{\sqrt{3}} \right\} \mathrm{d}x \\
\end{aligned}$$
となります。よって正解は (ヘ) の \(\displaystyle \frac{1}{x}\left( l + \frac{2}{\sqrt{3}}a \right) - \frac{2}{\sqrt{3}}\) です。
正三角形 \(\text{ABC}\) の内部に鎖交する磁束 \(\varPhi\)
正解 (イ)
(3)を\(x\)について\(a\)から\(b\)まで積分します。
$$\begin{aligned}
\Phi &= \int ^{b}_{a} \frac {\mu _{0}I}{2\pi } \left\{ \frac{1}{x}\left( l + \frac{2}{\sqrt{3}}a \right) - \frac{2}{\sqrt{3}} \right\} \mathrm{d}x \\
&= \frac{\mu_0 I}{2\pi} \left\{ \left( l + \frac{2}{\sqrt{3}}a \right) \int_{a}^{b} \frac{1}{x} \mathrm{d}x - \int_{a}^{b} \frac{2}{\sqrt{3}} \mathrm{d}x \right\} \\
&= \frac{\mu_0 I}{2\pi} \left\{ \left( l + \frac{2}{\sqrt{3}}a \right) \Big[ \ln x \Big]_{a}^{b} - \frac{2}{\sqrt{3}} \Big[ x \Big]_{a}^{b} \right\} \\
&= \frac{\mu_0 I}{2\pi} \left\{ \left( l + \frac{2}{\sqrt{3}}a \right) \ln \frac{b}{a} - \frac{2}{\sqrt{3}}(b - a) \right\} \\
\end{aligned}$$
解答群には\(b\)はありませんので、\(b\)を消去します。
$$\begin{aligned}
\Phi &= \frac{\mu_0 I}{2\pi} \left\{ \left( l + \frac{2}{\sqrt{3}}a \right) \ln \frac{b}{a} - \frac{2}{\sqrt{3}}(b - a) \right\} \\
&= \frac{\mu_0 I}{2\pi} \left\{ \left( l + \frac{2}{\sqrt{3}}a \right) \ln \left(\frac{a + \frac{\sqrt{3}}{2}l}{a} \right) - \frac{2}{\sqrt{3}} \left( a + \frac{\sqrt{3}}{2}l - a \right) \right\} \\
&= \frac{\mu_0 I}{2\pi} \left\{ \left( l + \frac{2}{\sqrt{3}}a \right) \ln \left( 1 + \frac{\sqrt{3}l}{2a} \right) - l \right\} \\
\end{aligned}$$
よって答えは(イ)の\(\displaystyle \left(l + \frac{2}{\sqrt{3}}a \right) \ln \left( 1 + \frac{\sqrt{3}l}{2a} \right) - l\)です。
相互インダクタンス \(M\)
正解 (カ)
相互インダクタンスの定義式
$$\begin{aligned}
MI &= N\Phi \\
\end{aligned}$$
より、この問題では\(N = 1\)なので
$$\begin{aligned}
M &= \dfrac{\Phi}{I} \\
\end{aligned}$$
となるので、答えは(カ) の\(\displaystyle \frac{\Phi}{I}\)です。
(1)
ホ
\(\displaystyle a + \frac{\sqrt{3}}{2}l\)
(2)
ヌ
\(\displaystyle l - \frac{2}{\sqrt{3}}(x - a)\)
(3)
ヘ
\(\displaystyle \frac{1}{x}\left( l + \frac{2}{\sqrt{3}}a \right) - \frac{2}{\sqrt{3}}\)
(4)
イ
\(\displaystyle \left(l + \frac{2}{\sqrt{3}}a \right) \ln \left( 1 + \frac{\sqrt{3}l}{2a} \right) - l\)
(5)
カ
\(\displaystyle \frac{\Phi}{I}\)
