図の非対称三相 \(\text{Y}\) 形負荷回路で，\(\text{a}\)，\(\text{b}\)，\(\text{c}\) 各相のインピーダンスをそれぞれ \(\dot{Z}_{\text{a}} = 10 \ [\Omega]\)，\(\dot{Z}_{\text{b}} = 12.5 \ [\Omega]\)，\(\dot{Z}_{\text{c}} = 16 \ [\Omega]\)，負荷中性点と接地地点間のインピーダンスを \(\dot{Z}_{\text{n}} = 5 \ [\Omega]\) とする。この負荷に \(\dot{E}_{\text{a}} = 100 \ [\mathrm{V}]\)，\(\dot{E}_{\text{b}} = 100 \angle -\dfrac{2\pi}{3} \ [\mathrm{V}]\)，\(\dot{E}_{\text{c}} = 100 \angle -\dfrac{4\pi}{3} \ [\mathrm{V}]\) の対称三相 \(\text{Y}\) 形電源を接続した。ただし，電源の中性点は接地されているものとする。このとき，負荷中性点の電圧 \(\dot{V}_{\text{n}}\) は (1) \([\mathrm{V}]\) であり，流れる各線電流はそれぞれ \(\dot{I}_{\text{a}} = \) (2) \([\mathrm{A}]\)，
\(\dot{I}_{\text{b}} = \) (3) \([\mathrm{A}]\)，\(\dot{I}_{\text{c}} = \) (4) \([\mathrm{A}] \)，\(\dot{I}_{\text{n}} = \) (5) \([\mathrm{A}]\) となる。
電験一種 H22年 理論 問5
次の文章は，三相回路に関する記述である。文中のに当てはまる最も適切な式を解答群の中から選びなさい。
解答群
| (ｲ) | \(0.650 - \mathrm{j}0.342\) | (ﾛ) | \(0.406 - \mathrm{j}0.214\) | (ﾊ)(2) | \(9.35 + \mathrm{j}0.342\) |
| (ﾆ) | \(11.9 - \mathrm{j}6.26\) | (ﾎ) | \(-4.00 - \mathrm{j}6.93\) | (ﾍ) | \(0.575 - \mathrm{j}0.303\) |
| (ﾄ)(1) | \(6.50 - \mathrm{j}3.42\) | (ﾁ) | \(2.37 - \mathrm{j}1.25\) | (ﾘ) | \(10.0 + \mathrm{j}0.00\) |
| (ﾇ) | \(0.520 - \mathrm{j}0.274\) | (ﾙ) | \(-3.13 + \mathrm{j}5.41\) | (ｦ)(5) | \(1.30 - \mathrm{j}0.685\) |
| (ﾜ) | \(2.88 - \mathrm{j}1.52\) | (ｶ)(4) | \(-3.53 + \mathrm{j}5.63\) | (ﾖ)(3) | \(-4.52 - \mathrm{j}6.65\) |
解説
難しい問題ではないですが、細かい数字の計算が出てきます。正解を出すだけなら実部か虚部だけが分かればいいことが多いので、それでとりあえず答えを出して時間が余ればちゃんと計算するという方法がいいかもしれません。
負荷中性点の電圧\(\dot{V}_{\text{n}}\) 正解 (ト)
ミルマンの定理で解くのが楽だと思いますが、キルヒホッフの電圧則と電流則から求めます。なお、結局途中でミルマンの定理がでてきます。
各線電流は、各ループのキルヒホッフの電圧則より、以下のように表せます。
$$\begin{aligned}
\dot{I}_a &= \frac{\dot{E}_a - \dot{V}_n}{\dot{Z}_a} \\
\dot{I}_b &= \frac{\dot{E}_b - \dot{V}_n}{\dot{Z}_b} \\
\dot{I}_c &= \frac{\dot{E}_c - \dot{V}_n}{\dot{Z}_c} \\
\dot{I}_n &= \frac{\dot{V}_n}{\dot{Z}_n} \\
\end{aligned}$$
また、キルヒホッフの電流則より、
$$\begin{aligned}
\dot{I}_n &= \dot{I}_a + \dot{I}_b + \dot{I}_c \\
\end{aligned}$$
です。これらを整理すると
$$\begin{aligned}
\dot{I}_n &= \dot{I}_a + \dot{I}_b + \dot{I}_c \\
\frac{\dot{V}_n}{\dot{Z}_n} &= \frac{\dot{E}_a - \dot{V}_n}{\dot{Z}_a} + \frac{\dot{E}_b - \dot{V}_n}{\dot{Z}_b} + \frac{\dot{E}_c - \dot{V}_n}{\dot{Z}_c} \\
\frac{\dot{V}_n}{\dot{Z}_n} &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_a} + \frac{\dot{E}_b}{\dot{Z}_b} + \frac{\dot{E}_c}{\dot{Z}_c} - \dot{V}_n\left(\frac{1}{\dot{Z}_a} + \frac{1}{\dot{Z}_b} + \frac{1}{\dot{Z}_c}\right) \\
\dot{V}_n & \left(\frac{1}{\dot{Z}_a} + \frac{1}{\dot{Z}_b} + \frac{1}{\dot{Z}_c} + \frac{1}{\dot{Z}_n}\right) = \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_a} + \frac{\dot{E}_b}{\dot{Z}_b} + \frac{\dot{E}_c}{\dot{Z}_c} \\
\dot{V}_n &= \frac{\dfrac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_a} + \dfrac{\dot{E}_b}{\dot{Z}_b} + \dfrac{\dot{E}_c}{\dot{Z}_c}}{\dfrac{1}{\dot{Z}_a} + \dfrac{1}{\dot{Z}_b} + \dfrac{1}{\dot{Z}_c} + \dfrac{1}{\dot{Z}_n}} \\
\end{aligned}$$
となります。これはミルマンの定理と同じです。
ここから具体的な数字を入れて\(\dot{V}_n\)を求めます。なお、ベクトルオペレータを用います。
$$\begin{aligned}
\dot{V}_n &= \frac{\dfrac{100}{10} + \dfrac{100a^2}{12.5} + \dfrac{100a}{16}}{\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{12.5} + \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{5}} \\
&= \frac{\dfrac{100}{10} + \dfrac{100a^2}{12.5} + \dfrac{100a}{16}}{\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{12.5} + \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{5}} \times \dfrac{400}{400} \\
&= \frac{4000 + 3200a^2 + 2500a}{40+32+25+80} \\
&= \frac{4000 + 3200a^2 + 2500a}{177} \\
&= \frac{4000 + 3200\left( -\dfrac{1}{2} - j\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2500\left( -\dfrac{1}{2} + j\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)}{177} \\
&= \frac{ 4000 - 1600 - j1600\sqrt{3} - 1250 + j1250\sqrt{3} }{177} \\
&= \frac{ 1150- j350\sqrt{3}}{177} \\
&\fallingdotseq 6.50 - j3.42 \\
\end{aligned}$$
よって答えは(ト)の\(6.50 - \mathrm{j}3.42\)です。
a相の線電流\(\dot{I}_{\text{a}}\) 正解 (ハ)
\(\dot{V}_n\)が求まれば後は順に計算するだけです。
$$\begin{aligned}
\dot{I}_a &= \frac{\dot{E}_a - \dot{V}_n}{\dot{Z}_a} \\
&= \frac{100 - (6.50 - j3.42)}{10} \\
&= \frac{93.50 + j3.42}{10} \\
&= 9.35 + j0.342 \\
\end{aligned}$$
よって、答えは(ハ)の\(9.35 + \mathrm{j}0.342\)です。
b相の線電流\(\dot{I}_{\text{b}}\) 正解 (ヨ)
同様に\(\dot{I}_{\text{b}}\)を計算します。
$$\begin{aligned}
\dot{I}_b &= \frac{\dot{E}_b - \dot{V}_n}{\dot{Z}_b} \\
&\fallingdotseq \frac{(-50 - j86.60) - (6.50 - j3.42)}{12.5} \\
&= \frac{-56.50 - j83.18}{12.5} \\ &\fallingdotseq -4.52 - j6.65 \\
\end{aligned}$$
よって答えは(ヨ)の\(-4.52 - \mathrm{j}6.65\)です。
c相の線電流\(\dot{I}_{\text{c}}\) 正解 (カ)
同様に\(\dot{I}_{\text{c}}\)を計算します。
$$\begin{aligned}
\dot{I}_c &= \frac{\dot{E}_c - \dot{V}_n}{\dot{Z}_c} \\
&\fallingdotseq \frac{(-50 + j86.60) - (6.50 - j3.42)}{16} \\
&= \frac{-56.50 + j90.02}{16} \\
&\fallingdotseq -3.53 + j5.63 \\
\end{aligned}$$
となります。よって答えは(カ)の\(-3.53 + \mathrm{j}5.63\)です。
中性線（接地極）に流れる電流\(\dot{I}_{\text{n}}\) 正解 (ヲ)
\(\dot{I}_{\text{n}}\)を求めます。これは各線電流の和で求めるのが簡単です。
$$\begin{aligned}
\dot{I}_n &= \dot{I}_a + \dot{I}_b + \dot{I}_c \\
&= (9.350 - 4.520 - 3.531) + j(0.342 - 6.654 + 5.627) \\
&= 1.299 - j0.685 \\
&\fallingdotseq 1.30 - j0.685 \\
\end{aligned}$$
よって答えは(ヲ)の\(1.30 - \mathrm{j}0.685\)です。
正解一覧
(1)
ト
\(6.50 - \mathrm{j}3.42\)
(2)
ハ
\(9.35 + \mathrm{j}0.342\)
(3)
ヨ
\(-4.52 - \mathrm{j}6.65\)
(4)
カ
\(-3.53 + \mathrm{j}5.63\)
(5)
ヲ
\(1.30 - \mathrm{j}0.685\)