次の文章は，分布定数回路に関する記述である。文中のに当てはまる式又は図を解答群の中から選びなさい。
図のように特性インピーダンスが \(Z\) の半無限長無損失線路の終端 \(\text{A}\) に負荷が接続されている。
波頭が階段状で波高値 \(E\) の電圧波 \(e\) が \(Z\) 側から終端 \(\text{A}\) に向かって入射し，それに伴い波頭が階段状で波高値 \(I\) の電流波 \(i\) が流れた。入射波は時刻 \(t = 0\) のとき終端 \(\text{A}\) に達した。このときの終端 \(\text{A}\) での電流 \(i\) と反射による電流 \(i_1\) 及び負荷に流れる電流 \(i_0\) との関係を求めたい。電流 \(i_1\)，電流 \(i_0\) 及び終端 \(\text{A}\) での反射により生じる電圧 \(e_1\) を図のようにとる。電流は入射波が終端 \(\text{A}\) に向かって進行する方向を正とする。
負荷が静電容量 \(C\) のときについて考える。\(C\) の電荷を \(q\) とする。ただし，時刻 \(t = 0\) において \(q = 0\) とする。
入射波到達後において，終端 \(\text{A}\) での電圧，電流の関係は次式で表される。
$$
\left.
\begin{array}{l}
E + e_1 = ZI + (-Zi_1) = \boxed{ \quad (1) \quad } \\
I + i_1 = i_0 \\
i_0 = \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}
\end{array}
\right\}
$$
①
これらの式より，\(q\) の時間変化を表す微分方程式が得られる。この式を初期値を考慮して解くと，
\(q =\)(2)
②
となる。\(i_1\) を \(I\) を用いて表すと次式となる。
\(i_1 =\)(3)
③
このときの \(i_1\) の時間的変化を表す図は (4) である。また，負荷に流れる電流 \(i_0\) の時間的変化を表す図は (5) である。
解答群
| (ｲ) |
\(ZIC\!\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{1}{ZC}t}\right)\) |
(ﾛ)(1) |
\(\dfrac{q}{C}\) |
(ﾊ) |
\(\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{1}{ZC}t}\right)I\) |
| (ﾆ) |
\(\dfrac{1}{C}\displaystyle\int q\,\mathrm{d}t\) |
(ﾎ) |
\(\left(\mathrm{e}^{-\frac{1}{ZC}t}-1\right)I\) |
(ﾍ)(2) |
\(2ZIC\!\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{1}{ZC}t}\right)\) |
| (ﾄ)(3) |
\(\left(2\mathrm{e}^{-\frac{1}{ZC}t}-1\right)I\) |
(ﾁ) |
\(ZIC\!\left(\mathrm{e}^{-\frac{1}{ZC}t}-1\right)\) |
(ﾘ) |
\(C\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\) |
| (ﾇ) |
 |
(ﾙ) |
 |
| (ｦ) |
 |
(ﾜ)(5) |
 |
| (ｶ) |
 |
(ﾖ)(4) |
 |
出典：平成22年度 第一種電気主任技術者 一次試験 理論科目 問3
解説
二次試験で問われることが含まれている問題なのでしっかり理解したいところです。
終端Aにおける電圧の関係式
正解 (ロ)
終端\(A\)の電圧を\(e_2\)とすると、以下の図のようになります。
ここで、負荷が静電容量\(C\)で、その電荷は\(q\)であり、これによる電圧が\(e_2\)にならないといけないので
$$\begin{aligned}
E + e_1 &= e_2\\
&= \dfrac{q}{C} \\
\end{aligned}$$
となります。よって答えは(ロ)の\(\dfrac{q}{C}\)です。
静電容量\(C\)に蓄えられる電荷\(q\)の時間変化式
正解 (ヘ)
問題に与えられている式を整理します。
$$\begin{aligned}
I + i₁ &= i₀ \\
&= \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} \\
\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}
ZI + (-Zi_1) &= \dfrac{q}{C}\\
ZI - \dfrac{q}{C} &= Zi_1\\
i_1 &= I - \dfrac{q}{ZC} \\
\end{aligned}$$
\(i_1\)を消去します。
$$\begin{aligned}
I + i₁ &= \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} \\
I + I - \dfrac{q}{ZC} &= \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} \\
\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} + \dfrac{q}{ZC} &= 2I \\
\end{aligned}$$
1階線形微分方程式の形になったので、これを解きます。
過渡解\(q_t\)を求めるため、右辺の定数項を取り除き、右辺を\(0\)と置いた次の方程式を解きます。
$$\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{ZC}q &= 0 \\
\frac{\mathrm{d}q}{q} &= -\frac{1}{ZC}\mathrm{d}t \\
\end{aligned}$$
両辺を積分します。
$$\begin{aligned}
\ln |q| &= -\frac{t}{ZC} + C_0 \quad (C_0 \text{ は積分定数}) \\
q_t(t) &= A\mathrm{e}^{-\frac{t}{ZC}} \quad (A = \pm e^{C_0}) \\
\end{aligned}$$
これが過渡解です。
次に定常解を求めます。
$$\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{ZC}q &= 2I \\
\end{aligned}$$
十分に時間が経過した定常状態では、電荷の変化がなくなるため \(\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = 0 \) と置くことができます。
$$\begin{aligned}
\frac{1}{ZC}q_s &= 2I \\
q_s &= 2ZCI \\
\end{aligned}$$
一般解 \(q(t)\) は過渡解と定常解の和なので
$$\begin{aligned}
q(t) &= q_t(t) + q_s\\
&= A\mathrm{e}^{-\frac{t}{ZC}} + 2ZCI\\
\end{aligned}$$
となります。\(q(0)=0\)なので
$$\begin{aligned}
0 &= A\mathrm{e}^{-\frac{0}{ZC}} + 2ZCI\\
0 &= A + 2ZCI \\
A &= -2ZCI \\
\end{aligned}$$
であることが分かります。これを一般解の式に戻すと、最終的な解が得られます。
$$\begin{aligned}
q(t) &= -2ZCI\mathrm{e}^{-\frac{t}{ZC}} + 2ZCI\\
&= 2ZIC\left(1- \mathrm{e}^{-\frac{t}{ZC}} \right) \\
\end{aligned}$$
よって答えは(ヘ)の\(2ZIC\!\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{1}{ZC}t}\right)\)です。
終端Aからの反射電流\(i_1\)の時間変化式
正解 (ト)
問題にある式より、
$$\begin{aligned}
i_1 &= i_0 - I \\
&= \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} - I \\
\end{aligned}$$
です。\(q\)は先ほど求めたので、これを\(t\)で微分します。
$$\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left\{ 2ZIC\left(1- \mathrm{e}^{-\frac{t}{ZC}} \right) \right\} &= 2I \mathrm{e}^{-\frac{1}{ZC}t} \\
\end{aligned}$$
これを先ほどの式に代入します。
$$\begin{aligned}
i_1 &= 2I \mathrm{e}^{-\frac{1}{ZC}t} - I \\
&= I \left( 2\mathrm{e}^{-\frac{1}{ZC}t} - 1 \right) \\
\end{aligned}$$
よって答えは(ト)の\(\left(2\mathrm{e}^{-\frac{1}{ZC}t}-1\right)I\)です。
反射電流\(i_1\)の時間的変化を表すグラフ
正解 (ヨ)
$$\begin{aligned}
i_1 &= \left( 2\mathrm{e}^{-\frac{1}{ZC}t} - 1 \right)I \\
\end{aligned}$$
上式において、\(i_1\)は\(t=0\)の時\(I\)、\(t=\infty\)の時\(-I\)となることが分かります。
これを満たしているグラフである(ヨ)が答えです。
負荷（静電容量）に流れる電流\(i_0\)の時間的変化を表すグラフ
正解 (ワ)
$$\begin{aligned}
i_0 &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left\{ 2ZIC\left(1- \mathrm{e}^{-\frac{t}{ZC}} \right) \right\} \\
&= 2I \mathrm{e}^{-\frac{1}{ZC}t} \\
\end{aligned}$$
より、答えは(ワ)です。
(1)
ロ
\(\dfrac{q}{C}\)
(2)
ヘ
\(2ZIC\!\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{1}{ZC}t}\right)\)
(3)
ト
\(\left(2\mathrm{e}^{-\frac{1}{ZC}t}-1\right)I\)
(4)
ヨ
(5)
ワ
