電験一種 H22年理論問2 直流回路

電験一種 H22年理論問2

次の文章は，直流回路に関する記述である。文中のに当てはまる最も適切な式を解答群の中から選びなさい。

図において，抵抗 $R_4$ に流れる電流 $I$ をミルマンの定理を用いて求めたい。

まず，電圧源を短絡除去して端子 $\text{A}$-$\text{B}$ 間からみた回路全体のコンダクタンスを求めると (1) となる。次に，端子 $\text{A}$-$\text{B}$ 間を短絡したときに，端子 $\text{B}$ から抵抗 $R_1$ と $R_2$ を介して端子 $\text{A}$ に流れる電流の和を求め，(1) で割れば，$V = $ (2) となる。したがって，$I = $ (3) となる。

さらに，$R_4$ で消費される電力が最大となる $R_4$ の値を求めてみよう。$R_4$ で消費される電力 $P$ は $P = I^2 R_4$ で求められるから，$R_4$ の値が $R_4 = $ (4) の条件を満足する場合に電力は最大となり，最大電力 $P_{\mathrm{m}}$ は $P_{\mathrm{m}} = $ (5) となる。

解答群

(ｲ)(3)	$\dfrac{(R_2+R_3)E_1 - R_1E_2}{R_1(R_2+R_3)+R_4(R_1+R_2+R_3)}$	(ﾛ)	$\dfrac{R_2R_3}{R_1+R_2+R_3}$
(ﾊ)(4)	$\dfrac{R_1(R_2+R_3)}{R_1+R_2+R_3}$	(ﾆ)	$\dfrac{[(R_2+R_3)E_1-R_1E_2]^2}{2(R_1+R_2+R_3)}$

(ﾎ)	$\dfrac{R_2R_3[(R_2+R_3)E_1-R_1E_2]}{R_4(R_2+R_3)(R_1R_2+R_1R_3+R_2R_3)+R_1R_2R_3(R_2+R_3)}$

(ﾍ)	$\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{1}{R_3}+\dfrac{1}{R_4}$	(ﾄ)	$\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2+R_3}$
(ﾁ)(1)	$\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_4}+\dfrac{1}{R_2+R_3}$	(ﾘ)	$\dfrac{(R_2+R_3)E_1-R_1E_2}{(R_1+R_2+R_3)R_4}$
(ﾇ)(2)	$\dfrac{(R_2+R_3)E_1-R_1E_2}{R_1(R_2+R_3)+R_4(R_1+R_2+R_3)}R_4$	(ﾙ)	$\dfrac{(R_2+R_3)E_1-R_1E_2}{R_1+R_2+R_3}$

(ｦ)(5)

$\dfrac{[(R_2+R_3)E_1-R_1E_2]^2}{4R_1(R_2+R_3)(R_1+R_2+R_3)}$

(ﾜ)	$\dfrac{R_2R_3R_4[(R_2+R_3)E_1-R_1E_2]}{R_4(R_2+R_3)(R_1R_2+R_1R_3+R_2R_3)+R_1R_2R_3(R_2+R_3)}$

(ｶ)

$\dfrac{R_2R_3[(R_2+R_3)E_1-R_1E_2]^2}{4R_1(R_2+R_3)^2(R_1R_2+R_1R_3+R_2R_3)}$

(ﾖ)

$\dfrac{R_1R_2R_3}{R_1R_2+R_1R_3+R_2R_3}$

出典：平成22年度第一種電気主任技術者一次試験理論科目問2

解説

難しいことを問われているわけではありませんが、単純に計算に時間を要するため本番では他の問題を解いてからでもいいかもしれません。

端子A-B間からみた回路全体のコンダクタンス正解 (チ)

並列接続の時、全体のコンダクタンス$G$は各コンダクタンスの和となります。

$R_2$と$R_3$の抵抗のある部分のコンダクタンスが$\dfrac{1}{R_2+R_3}$であることに注意して全体のコンダクタンスを求めると

$$\begin{aligned} G &= \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_4} + \dfrac{1}{R_2+R_3}\\ \end{aligned}$$

となりますので、答えは(チ)の$\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_4}+\dfrac{1}{R_2+R_3}$です。

ミルマンの定理による端子A-B間の電圧$V$ 正解 (ヌ)

問題に書いてある内容を図にすると以下のようになります。$E_2$の方は符号が逆になることに注意してください。

これより、端子$B$から抵抗$R_1$と$R_2$を介して端子$A$に流れる電流の和は$\dfrac{E_1}{R_1} - \dfrac{E_2}{R_2+R_3}$であることが分かります。

これを(1)の答えで割ると以下のようになります。

$$\begin{aligned} V &= \frac{\dfrac{E_1}{R_1} - \dfrac{E_2}{R_2+R_3}}{\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_4} + \dfrac{1}{R_2+R_3}} \\ &=\frac{\dfrac{E_1}{R_1} - \dfrac{E_2}{R_2+R_3}}{\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_4} + \dfrac{1}{R_2+R_3}} \cdot \dfrac{R_1 R_4\left(R_2+R_3\right)}{R_1 R_4\left(R_2+R_3\right)} \\ &= \dfrac{ R_4 \{ E_1 (R_2 + R_3) - E_2 R_1 \}}{ R_4 (R_2 + R_3) + R_1 (R_2 + R_3) + R_1 R_4} \\ &= \dfrac{(R_2+R_3)E_1-R_1E_2}{R_1(R_2+R_3)+R_4(R_1+R_2+R_3)}R_4 \\ \end{aligned}$$

よって、答えは(ヌ)の$\dfrac{(R_2+R_3)E_1-R_1E_2}{R_1(R_2+R_3)+R_4(R_1+R_2+R_3)}R_4$です。

抵抗$R_4$に流れる電流$I$ 正解 (イ)

$V$が分かりましたので、$I$はこれを$R_4$で割るだけで求められます。

$$\begin{aligned} I &= \dfrac{(R_2+R_3)E_1-R_1E_2}{R_1(R_2+R_3)+R_4(R_1+R_2+R_3)}R_4 \cdot \dfrac{1}{R_4} \\ &= \dfrac{(R_2+R_3)E_1-R_1E_2}{R_1(R_2+R_3)+R_4(R_1+R_2+R_3)} \\ \end{aligned}$$

よって答えは(イ)の$\dfrac{(R_2+R_3)E_1 - R_1E_2}{R_1(R_2+R_3)+R_4(R_1+R_2+R_3)}$です。

抵抗$R_4$で消費される電力が最大となる$R_4$の条件正解 (ハ)

供給電力が最大になる時は負荷抵抗と内部抵抗が等しい時なので、端子$AB$から内部を見た抵抗を考えます。

内部抵抗は$R_1$と$R_2+R_3$の並列接続なので

$$\begin{aligned} &\dfrac{R_1\left(R_2+R_3\right)}{R_1+ R_2+R_3} \\ \end{aligned}$$

となります。よって答えは(ハ)の$\dfrac{R_1(R_2+R_3)}{R_1+R_2+R_3}$です。

なお、微分して求めた結果は以下です。本番ではやる必要はありません。

$$\begin{aligned} P &= \left\{ \dfrac{(R_2+R_3)E_1 - R_1E_2}{R_1(R_2+R_3)+R_4(R_1+R_2+R_3)} \right\} ^2 R_4\\ \end{aligned}$$

このままでは分かりにくいので、

$$\begin{aligned} A &= (R_2 + R_3)E_1 - R_1E_2 \\ B &= R_1(R_2 + R_3) \\ C &= R_1 + R_2 + R_3 \\ \end{aligned}$$

とします。そうすると以下となります。ここで、計算のために分母にのみ$R_4$がある形にします。

$$\begin{aligned} P &= \left( \dfrac{A}{B +CR_4} \right) ^2 R_4\\ &= \dfrac{A^2}{B^2 +2BCR_4 + C^2 R_4^2} R_4\\ &= \dfrac{A^2}{\dfrac{B^2}{R_4} +2BC + C^2 R_4} \\ \end{aligned}$$

分母を$F$とおいて微分します。

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}R_4} &= \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}R_4} \left\{\frac{B^2}{R_4} + 2BC + C^2 R_4 \right\} \\ &= -\frac{B^2}{R_4^2} + C^2 \\ \end{aligned}$$

これが$0$になる時の$R_4$を求めます。

$$\begin{aligned} 0 &= -\frac{B^2}{R_4^2} + C^2 \\ C^2 &= \frac{B^2}{R_4^2} \\ R_4^2 &= \frac{B^2}{C^2} \\ \end{aligned}$$

$R_4$、$B_2$、$C_2$は正なので

$$\begin{aligned} R_4 &= \frac{B}{C} \\ \end{aligned}$$

となります。

$B$と$C$を戻すと以下のようになります。

$$\begin{aligned} R_4 &= \frac{B}{C} \\ &= \dfrac{R_1(R_2 + R_3)} {R_1 + R_2 + R_3 }\\ \end{aligned}$$

同じ答えが得られました。なお、

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^2F}{\mathrm{d}R_4^2} &= \frac{2B^2}{R_4^3} \\ \frac{2B^2}{R_4^3} &> 0 \end{aligned}$$

なので、$R_4 = \dfrac{R_1(R_2 + R_3)} {R_1 + R_2 + R_3 } $の時$F$は最小値であり、結果$P$は最大となることが分かります。

抵抗$R_4$で消費される最大電力$P_{\mathrm{m}}$ 正解 (ヲ)

$R_4 = \dfrac{R_1(R_2+R_3)}{R_1+R_2+R_3}$を代入して$P_{\mathrm{m}}$を求めます。

$$\begin{aligned} P_{\mathrm{m}} &= \frac{\{(R_2 + R_3)E_1 - R_1E_2\}^2}{\{R_1(R_2 + R_3) + R_4(R_1 + R_2 + R_3)\}^2} R_4 \\ &= \frac{\{(R_2 + R_3)E_1 - R_1E_2\}^2 }{\left\{ R_1(R_2 + R_3) + \left[ \dfrac{R_1(R_2 + R_3)}{R_1 + R_2 + R_3} \right] (R_1 + R_2 + R_3) \right\}^2} \cdot \dfrac{R_1(R_2 + R_3)}{R_1 + R_2 + R_3} \\ &= \frac{\{(R_2 + R_3)E_1 - R_1E_2\}^2 }{\left\{ R_1(R_2 + R_3) + R_1(R_2 + R_3) \right\}^2} \cdot \dfrac{R_1(R_2 + R_3)}{R_1 + R_2 + R_3} \\ &= \frac{\{(R_2 + R_3)E_1 - R_1E_2\}^2 }{\left\{ 2R_1(R_2 + R_3) \right\}^2} \cdot \dfrac{R_1(R_2 + R_3)}{R_1 + R_2 + R_3} \\ &= \frac{\{(R_2 + R_3)E_1 - R_1E_2\}^2 }{4R_1(R_2 + R_3) } \cdot \dfrac{1}{R_1 + R_2 + R_3} \\ &= \dfrac{[(R_2+R_3)E_1-R_1E_2]^2}{4R_1(R_2+R_3)(R_1+R_2+R_3)} \\ \end{aligned}$$

となるので、答えは(ヲ)の$\dfrac{[(R_2+R_3)E_1-R_1E_2]^2}{4R_1(R_2+R_3)(R_1+R_2+R_3)}$です。

正解一覧

(1) チ $\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_4}+\dfrac{1}{R_2+R_3}$

(2) ヌ $\dfrac{(R_2+R_3)E_1-R_1E_2}{R_1(R_2+R_3)+R_4(R_1+R_2+R_3)}R_4$

(3) イ $\dfrac{(R_2+R_3)E_1 - R_1E_2}{R_1(R_2+R_3)+R_4(R_1+R_2+R_3)}$

(4) ハ $\dfrac{R_1(R_2+R_3)}{R_1+R_2+R_3}$

(5) ヲ $\dfrac{[(R_2+R_3)E_1-R_1E_2]^2}{4R_1(R_2+R_3)(R_1+R_2+R_3)}$

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