電験一種 H21年 理論 問1
次の文章は，2本の導線より成る平行往復回路の外部自己インダクタンスに関する記述である。文中のに当てはまる式又は語句を解答群の中から選び，その記号をマークシートに記入しなさい。なお，空気の透磁率を \(\mu_0\) とする。
図のように，半径が \(a\) で，無限に長い2本の導線が線間距離 \(d\) を隔てて構成される一つの平行往復回路がある。ただし，\(a \ll d\) とする。このとき，導線外部の磁束による自己インダクタンスは次のように求めることができる。
\(a \ll d\) であるから，電流は導線の中心軸に集中しているとしてよい。したがって，導線1の電流 \(I\) による導体外の磁界は，\(r\) をその中心軸からの距離とすれば，\(r > a\) として，(1) となる。そこで，中心軸から \(r\) のところにあって幅が \(\mathrm{d}r\)，長さが \(l\) の帯状面積 \(l \mathrm{d}r\) を貫く磁束 \(\mathrm{d}\phi\) は (2) となる。
平行往復回路の外部自己インダクタンスは2本の導線間を通過している磁束から計算できる。したがって，導線1の電流 \(I\) による長さ \(l\) の部分に関係する外部磁束 \(\phi\) は \(\mathrm{d}\phi\) を \(r\) について (3) まで積分すれば，\(a \ll d\) として (4) となる。同じく導線2の電流 \(I\) による長さ \(l\) の部分に関係する外部磁束も (4) と大きさも方向も全く相等しいことに注意すれば，結局，求める外部磁束は (4) の2倍となる。
したがって，無限に長い2本の平行往復回路の長さ \(l\) についての導線外部の磁束による導線外部自己インダクタンスは (5) となる。
解答群
| (ｲ)(2) |
\(\displaystyle \frac{\mu_0 I}{2\pi r}l \mathrm{d}r\) |
(ﾛ)(4) |
\(\displaystyle \frac{\mu_0 l I}{2\pi}\log_{\mathrm{e}}\frac{d}{a}\) |
(ﾊ) |
\(\displaystyle \frac{\mu_0 l}{3\pi d^3}\) |
| (ﾆ)(5) |
\(\displaystyle \frac{\mu_0 l}{\pi}\log_{\mathrm{e}}\frac{d}{a}\) |
(ﾎ)(1) |
\(\displaystyle \frac{I}{2\pi r}\) |
(ﾍ) |
\(\displaystyle \frac{I}{\pi r^2}\) |
| (ﾄ) |
\(\displaystyle \frac{2\mu_0 l}{3\pi d^3}\) |
(ﾁ) |
\(\displaystyle \frac{\mu_0 l I}{3\pi d^3}\) |
(ﾘ) |
\(\displaystyle \frac{I}{2\pi r^2}\) |
| (ﾇ) |
\(\displaystyle \frac{\mu_0 I}{2\pi r^2}l \mathrm{d}r\) |
(ﾙ) |
\(a \text{ から } d-2a\) |
(ｦ)(3) |
\(a \text{ から } d-a\) |
| (ﾜ) |
\(0 \text{ から } d-a\) |
(ｶ) |
\(\displaystyle \frac{\mu_0 I}{\pi r^2}l \mathrm{d}r\) |
(ﾖ) |
\(\displaystyle \frac{\mu_0 l I}{6\pi d^3}\) |
出典：平成21年度 第一種電気主任技術者 一次試験 理論科目 問1
解説
導線1の電流\(I\)による中心軸からの距離\(r\)における磁界
正解 (ホ)
アンペアの周回積分の法則より、導線に電流\(I\)が流れているとき、中心軸から距離\(r\)\( \left( r \gt a \right) \)離れたところの点における磁界\(H\)は
$$\begin{aligned}
H &= \dfrac{I}{2 \pi r} \\
\end{aligned}$$
で表されますので、答えは(ホ)の\(\displaystyle \frac{I}{2\pi r}\)です。
中心軸から距離\(r\)の帯状面積を貫く微小磁束\(\mathrm{d}\phi\)
正解 (イ)
中心軸から距離\(r\)\( \left( r \gt a \right) \)離れたところの点における磁束密度\(B\)は
$$\begin{aligned}
B &= \mu_0 H \\
&= \dfrac{\mu_0 I}{2 \pi r}
\end{aligned}$$
です。磁束はこれと面積の積です。図の面積は\( l \mathrm{d} r\)です。よって磁束\(\mathrm{d}\phi\)は
$$\begin{aligned}
\mathrm{d}\phi &= B \mathrm{d} r \\
&= \dfrac{\mu_0 I}{2 \pi r} \mathrm{d} r \\
\end{aligned}$$
となりますので、答えは(イ)の\(\displaystyle \frac{\mu_0 I}{2\pi r}l \mathrm{d}r\)です。
外部磁束\(\phi\)を求めるための積分範囲
正解 (ヲ)
画像の通り、積分範囲は\(a\)から\(d-a\)までです。
よって答えは(ヲ)の\(a \text{ から } d-a\)です。
導線1の電流による2本の導線間を通過する外部磁束\(\phi\)
正解 (ロ)
実際に(2)の結果を積分範囲 \(a\) から \(d-a\) まで積分します。
$$\begin{aligned}
\phi &= \int_{a}^{d-a} \frac{\mu_0 I }{2\pi r} l \mathrm{d}r \\
&= \frac{\mu_0 I }{2\pi}l \left[ \log_e r \right]_{a}^{d-a} \\
&= \frac{\mu_0 I l}{2\pi} \log_e \frac{d-a}{a} \\
\end{aligned}$$
ここで \(a \ll d\) なので \(d-a \approx d\) と近似すると
$$\begin{aligned}
\phi &= \frac{\mu_0 l I}{2\pi} \log_e \frac{d}{a} \\
\end{aligned}$$
となります。よって答えは(ロ)の\(\displaystyle \frac{\mu_0 l I}{2\pi}\log_{\mathrm{e}}\frac{d}{a}\)です。
平行往復回路の長さ\(l\)における外部自己インダクタンス
正解 (ニ)
往復回路なので、どちらの電流による磁束も同じ向きとなり、画面の手前から奥へ行く方向となります。よって問題に記載の通り、求める外部磁束は(4)の2倍となります。
$$\begin{aligned}
\phi ' &= 2 \phi \\
&= \frac{\mu_0 l I}{\pi} \log_e \frac{d}{a} \\
\end{aligned}$$
自己インダクタンスの定義\(L = \dfrac{\phi '}{I}\)より
$$\begin{aligned}
L &= \dfrac{\phi '}{I} \\
&= \frac{\mu_0 l }{\pi} \log_e \frac{d}{a}
\end{aligned}$$
よって答えは(ニ)の\(\displaystyle \frac{\mu_0 l}{\pi}\log_{\mathrm{e}}\frac{d}{a}\)です。
(1)
ホ
\(\displaystyle \frac{I}{2\pi r}\)
(2)
イ
\(\displaystyle \frac{\mu_0 I}{2\pi r}l \mathrm{d}r\)
(3)
ヲ
\(a \text{ から } d-a\)
(4)
ロ
\(\displaystyle \frac{\mu_0 l I}{2\pi}\log_{\mathrm{e}}\frac{d}{a}\)
(5)
ニ
\(\displaystyle \frac{\mu_0 l}{\pi}\log_{\mathrm{e}}\frac{d}{a}\)
