電験三種 R4年上期 理論 問2
真空中において,図に示すように一辺の長さが1mの正三角形の各頂点に1C又は-1Cの点電荷がある。
この場合,正の点電荷に働く力の大きさ\(F_1[N] \)と,負の点電荷に働く力の大きさ\(F_2[N] \)の比\(F_2/F_1\)の値として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
出典:令和4年度上期第三種電気主任技術者理論科目A問題問2
解説
真空中で距離r[m]離れた2つの電荷に働く力は以下で示されます。
\(\displaystyle F=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1Q_2}{r^2}[N]\)
この問題では力の比率\(F_2/F_1\)が問われています。
各電荷間の距離は全て1[m]であり、また電荷も符号が異なるものの大きさは同じなので、力の大きさは全ての電荷で同一です。そのため、この問題では力の方向のみを気を付ければいいことになります。
ここで、各電荷の符号が同じである場合は斥力、異なる場合には引力が働きます。
図に力を示すと以下のようになります。黄緑は各電荷間で働く力、青はそれを合成したものです。
各電荷間で働く力をF[N]とし、それの合成である\(F_2\)と\(F_1\)を計算します。 図は正三角形なので、負の電荷に働く力は\(60^{ \circ }\)、\(\displaystyle \frac{ \pi }{ 3 }[rad]\)ズレています。 2本の線の間を基準にすると2つの力には反対方向の力もあり(下図の赤い線)、これらは足し合わせると0になります。
そのため、合成した力は水色の線2本分となります。黄緑の線からは\(\displaystyle \frac{ \pi }{ 6 }\)離れているため、\(F_2\)は以下で計算できます。
\(\displaystyle F_2=2 \times F \times \cos \frac{ \pi }{ 6 } = 2 \times F \times \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } = \sqrt{3} F\)
同様に\(F_1\)を計算します。2本の線は\(\displaystyle \frac{ 2\pi }{ 3 }\)ズレており、2本の線の間からは\(\displaystyle \frac{ \pi }{ 3 }\)なので、
\(\displaystyle F_1=2 \times F \times \cos \frac{ \pi }{ 3 } = 2 \times F \times \frac{ 1 }{ 2 } = F\)
力の比率は
\(\displaystyle \frac{ F_2 }{ F_1 }=\frac{ \sqrt{3}F }{ F }=\sqrt{3}\)
よって正解は(3) \(\sqrt{3}\)です。
正解:(3)