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電験三種 R4年上期 理論 問2

真空中において,図に示すように一辺の長さが1mの正三角形の各頂点に1C又は-1Cの点電荷がある。
この場合,正の点電荷に働く力の大きさ\(F_1[N] \)と,負の点電荷に働く力の大きさ\(F_2[N] \)の比\(F_2/F_1\)の値として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

  1. (1) \(\sqrt{2} \)
  2. (2) \(1.5 \)
  3. (3) \(\sqrt{3} \)
  4. (4) \(2 \)
  5. (5) \(\sqrt{5} \)

出典:令和4年度上期第三種電気主任技術者理論科目A問題問2

解説

真空中で距離r[m]離れた2つの電荷に働く力は以下で示されます。

\(\displaystyle F=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1Q_2}{r^2}[N]\)

  • \(F\)・・・クーロン力(静電気力)[N]
  • \(Q\)・・・電荷[C]
  • \(\epsilon_0\)・・・真空の誘電率[F/m]
  • \(r\)・・・2点間の距離[m]

この問題では力の比率\(F_2/F_1\)が問われています。
各電荷間の距離は全て1[m]であり、また電荷も符号が異なるものの大きさは同じなので、力の大きさは全ての電荷で同一です。そのため、この問題では力の方向のみを気を付ければいいことになります。

ここで、各電荷の符号が同じである場合は斥力、異なる場合には引力が働きます。

図に力を示すと以下のようになります。黄緑は各電荷間で働く力、青はそれを合成したものです。

各電荷間で働く力をF[N]とし、それの合成である\(F_2\)と\(F_1\)を計算します。
図は正三角形なので、負の電荷に働く力は\(60^{ \circ }\)、\(\displaystyle \frac{ \pi }{ 3 }[rad]\)ズレています。
2本の線の間を基準にすると2つの力には反対方向の力もあり(下図の赤い線)、これらは足し合わせると0になります。

そのため、合成した力は水色の線2本分となります。黄緑の線からは\(\displaystyle \frac{ \pi }{ 6 }\)離れているため、\(F_2\)は以下で計算できます。

\(\displaystyle F_2=2 \times F \times \cos \frac{ \pi }{ 6 } = 2 \times F \times \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } = \sqrt{3} F\)

同様に\(F_1\)を計算します。2本の線は\(\displaystyle \frac{ 2\pi }{ 3 }\)ズレており、2本の線の間からは\(\displaystyle \frac{ \pi }{ 3 }\)なので、

\(\displaystyle F_1=2 \times F \times \cos \frac{ \pi }{ 3 } = 2 \times F \times \frac{ 1 }{ 2 } = F\)

力の比率は

\(\displaystyle \frac{ F_2 }{ F_1 }=\frac{ \sqrt{3}F }{ F }=\sqrt{3}\)

よって正解は(3) \(\sqrt{3}\)です。

正解:(3)