問7 次の文章は，単極誘導に関する記述である。文中のに当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。ただし，時間を \(t\)，磁束密度と磁界の強さをそれぞれ \(\boldsymbol{B}\) と \(\boldsymbol{H}\)，電界を \(\boldsymbol{E}\) と表すことにする。
まず，一様な磁束密度 \(\boldsymbol{B}\) の存在する空間を，\(\boldsymbol{B}\) と垂直に速度 \(\boldsymbol{v}\) で動いている導体（図1）には電界 \(\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}\) が生じることを導く。考えている領域には電流も電荷もないものとする。電磁界で成り立つファラデーの電磁誘導の法則（微分形）は
(1) ①
である。磁束密度を \(z\) 軸正方向，速度を \(x\) 軸正方向とする静止直交座標において \(\boldsymbol{B} = (0, 0, B_z)\)，\(\boldsymbol{v} = (v_x, 0, 0)\) を用い，電界や磁界については，\(\boldsymbol{E} = (E_x, E_y, E_z)\) のようにベクトルの成分を表すと，①式は次のように書き換えられる。
(2) ②
さて，運動する導体において②式がどのように表されるか検討したい。運動座標系の位置や時間（静止座標系と同じ），電界や磁界は「 ′ 」付きの量で区別して示すことにすると，空間座標について変換式 (3) が成立する。電磁気学の基本方程式は座標変換に対して不変であるので，②式は全ての変数に「 ′ 」を付けても変わらず成立する（これを②'式とする）。②式に含まれる磁束密度の時間微分を変換式に基づいて変形すれば，
\[ \frac{\partial B_z'}{\partial t'} = \frac{\partial B_z'}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial t'} + \frac{\partial B_z'}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t'} + \frac{\partial B_z'}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t'} + \frac{\partial B_z'}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial t'} = \frac{\partial B_z'}{\partial t} +\frac{\partial B_z'}{\partial x} v_x \] ③
となる。一方，②'式の他の項はそのままの形でよく，結局②式は以下のように変形される。
(4) ④
これと②式を比較すると，運動座標系と静止座標系で観測された電界の間の関係は (5) と表せることが分かる。これは速度 \(\boldsymbol{v}\) で運動すると電界 \(\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}\) が生じることを意味している。
以上をもとに半径 \(R\) の導電性永久磁石 \(\text{M}\) が中心軸 \(\text{A}\)（導体）の周りを一定角速度 \(\omega\) で回転している場合（図2）に生じる誘導起電力を計算する。\(\boldsymbol{B}\) は永久磁石内部で \(z\) 軸方向成分のみを持ち，一様かつ一定である。中心軸 \(\text{A}\) と外周部のすべり接触子 \(\text{C}_1, \text{C}_2\) が電圧計 \(\text{V}\) に接続されているが，電流は無視できるとする。
この場合，\(\text{M}\) 内部の各点の速度は中心軸からの距離によって変わる。したがって起電力の大きさ \(U\) を求めるには永久磁石上面にて \(r = 0\) から \(r = R\) まで電界を積分すればよい。\(U\) は，\(\boldsymbol{B}\) と \(\boldsymbol{v}\) が直交するので次式のようにして計算できる。
\( \displaystyle U = \int_{0}^{R} |\boldsymbol{v}| |\boldsymbol{B}| \mathrm{d}r = \int_{0}^{R} r \omega |\boldsymbol{B}| \mathrm{d}r = \) (6) ③
| (ｲ) |
\(x' = x + v_x t\) |
(ﾛ)(5) |
\(E'_y + v_x B'_z = E_y\) |
(ﾊ)(1) |
\(\nabla \times \boldsymbol{E} = -\displaystyle \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\) |
| (ﾆ) |
\(\displaystyle \frac{\omega R^3 |\boldsymbol{B}|}{3}\) |
(ﾎ) |
\(\displaystyle \frac{\partial H_y}{\partial x} - \frac{\partial H_x}{\partial y} = 0\) |
(ﾍ)(3) |
\(x' = x - v_x t\) |
| (ﾄ) |
\(E'_y - v_x B'_z = E_y\) |
(ﾁ) |
\(\nabla \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{0}\) |
(ﾘ) |
\(\displaystyle \frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y} = 0\) |
| (ﾇ) |
\(\nabla \cdot \boldsymbol{E} = 0\) |
(ﾙ) |
\(\displaystyle \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} = 0\) |
(ｦ)(6) |
\(\displaystyle \frac{\omega R^2 |\boldsymbol{B}|}{2}\) |
| (ﾜ)(2) |
\(\displaystyle \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} = -\frac{\partial B_z}{\partial t}\) |
(ｶ) |
\(\displaystyle \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial (E'_y + v_x B'_z)}{\partial y} = 0\) |
|
| (ﾖ)(4) |
\(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(E'_y + v_x B'_z) - \frac{\partial E'_x}{\partial y} = -\frac{\partial B'_z}{\partial t}\) |
|
解説
解くだけであれば誘導に従いなんとかなるところもありますが、理解に関しては理論の本を読んだ方がいいです。
ファラデーの電磁誘導の法則（微分形）
正解 (ハ)
ファラデーの電磁誘導の法則（微分形）は、電界の回転と磁束密度の時間変化の関係を表した式です。磁束密度が時間とともに変化すると、その変化を妨げるような渦状の電界がその場に発生することを示しています。
ファラデーの電磁誘導の法則（微分形）は以下の式で表されます。
$$\begin{aligned}
\nabla \times \boldsymbol{E} &= -\displaystyle \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \\
\end{aligned}$$
よって答えは(ハ)の\(\nabla \times \boldsymbol{E} = -\displaystyle \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\)です。
回転（rot）のz成分による展開
正解 (ワ)
回転の定義より
$$\begin{aligned}
\left( \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z}, \quad \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x}, \quad \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} \right) &= \left( 0, \quad 0, \quad -\frac{\partial B_z}{\partial t} \right) \\
\end{aligned}$$
なので、
$$\begin{aligned}
\begin{cases}
\dfrac{\partial E_z}{\partial y} - \dfrac{\partial E_y}{\partial z} = 0 \\[1em]
\dfrac{\partial E_x}{\partial z} - \dfrac{\partial E_z}{\partial x} = 0 \\[1em]
\dfrac{\partial E_y}{\partial x} - \dfrac{\partial E_x}{\partial y} = -\dfrac{\partial B_z}{\partial t}
\end{cases}
\end{aligned}$$
となります。
よって答えは(ワ)の\(\displaystyle \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} = -\frac{\partial B_z}{\partial t}\)です。
運動座標系への空間座標変換式
正解 (ヘ)
ある場所\(x\)を見たとき、運動座標系の場合、時間\(t\)後には\(v_x t\)だけ原点が移動したところから\(x\)を見ることになりますから、それと\(x\)との距離を\(x' \)とおくと、
$$\begin{aligned}
x &= x' + v_x t \\
\end{aligned}$$
が成り立ちます。これを\(x' = \)の形にすると
$$\begin{aligned}
x' &= x - v_x t \\
\end{aligned}$$
となります。よって答えは(ヘ)の\(x' = x - v_x t\)です。
磁束密度の時間微分変形を代入した関係式
正解 (ヨ)
問題にある式は以下です。
$$\begin{aligned}
\frac{\partial B_z'}{\partial t'} &= \frac{\partial B_z'}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial t'} + \frac{\partial B_z'}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t'} + \frac{\partial B_z'}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t'} + \frac{\partial B_z'}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial t'} \\
&= \frac{\partial B_z'}{\partial t} +\frac{\partial B_z'}{\partial x} v_x \\
\end{aligned}$$
また、②'式は②式の全ての量に「'」をつけたものなので、
$$\begin{aligned}
\frac{\partial E'_y}{\partial x'} - \frac{\partial E'_x}{\partial y'} &= -\frac{\partial B'_z}{\partial t'} \\
\end{aligned}$$
です。
この時、空間微分は変換の前後で変わらないことから
$$\begin{aligned}
\frac{\partial E'_y}{\partial x'} - \frac{\partial E'_x}{\partial y'} &= \frac{\partial E'_y}{\partial x} - \frac{\partial E'_x}{\partial y} \\
\end{aligned}$$
となります。
これを代入して整理します。
$$\begin{aligned}
\frac{\partial E'_y}{\partial x} - \frac{\partial E'_x}{\partial y} &= -\frac{\partial B_z'}{\partial t'} \\
\frac{\partial E'_y}{\partial x} - \frac{\partial E'_x}{\partial y} &= -\left(\frac{\partial B_z'}{\partial t} +\frac{\partial B_z'}{\partial x} v_x \right) \\
\end{aligned}$$
整理すると
$$\begin{aligned}
\frac{\partial E'_y}{\partial x} - \frac{\partial E'_x}{\partial y} &= -\frac{\partial B'_z}{\partial t} -\frac{\partial B'_z}{\partial x} v_x \\
\frac{\partial E'_y}{\partial x} + \frac{\partial B'_z}{\partial x} v_x - \frac{\partial E'_x}{\partial y} &= -\frac{\partial B'_z}{\partial t} \\
\frac{\partial}{\partial x} \left( E'_y + v_xB_z' \right) - \frac{\partial E'_x}{\partial y} &= -\frac{\partial B'_z}{\partial t} \\
\end{aligned}$$
となります。よって答えは(ヨ)の\(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(E'_y + v_x B'_z) - \frac{\partial E'_x}{\partial y} = -\frac{\partial B'_z}{\partial t}\)です。
運動座標系と静止座標系における電界の関係
正解 (ロ)
②式と④式を比較します。
$$\begin{aligned}
\frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} &= -\frac{\partial B_z}{\partial t} \\
\frac{\partial}{\partial x}(E'_y + v_x B'_z) - \frac{\partial E'_x}{\partial y} &= -\frac{\partial B'_z}{\partial t} \\
\end{aligned}$$
ここで、座標変換によって磁束密度が変わらない、また運動方向と垂直な\(y\)微分の項は対応すると考えると、残る項は等しくないといけないので
$$\begin{aligned}
E_y &= E'_y + v_x B'_z \\
\end{aligned}$$
がいえます。よって答えは(ロ)の\(E'_y + v_x B'_z = E_y\)です。
単極誘導による起電力Uの積分計算
正解 (ヲ)
問題を解くだけであれば問題の式をそのまま積分するだけです。
$$\begin{aligned}
U &= \int_{0}^{R} r \omega |\boldsymbol{B}| \, dr \\
&= \omega |\boldsymbol{B}| \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{R} \\
&= \frac{\omega R^2 |\boldsymbol{B}|}{2} \\
\end{aligned}$$
よって答えは(ヲ)の\(\displaystyle \frac{\omega R^2 |\boldsymbol{B}|}{2}\)です。
(1)
ハ
\(\nabla \times \boldsymbol{E} = -\displaystyle \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\)
(2)
ワ
\(\displaystyle \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} = -\frac{\partial B_z}{\partial t}\)
(3)
ヘ
\(x' = x - v_x t\)
(4)
ヨ
\(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(E'_y + v_x B'_z) - \frac{\partial E'_x}{\partial y} = -\frac{\partial B'_z}{\partial t}\)
(5)
ロ
\(E'_y + v_x B'_z = E_y\)
(6)
ヲ
\(\displaystyle \frac{\omega R^2 |\boldsymbol{B}|}{2}\)