電験一種 R8年理論問6 平行平板電極と誘電体

電験一種 R8年理論問6

次の文章は，平行板コンデンサに関する記述である。文中のに当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

　図のように，距離 $2d$ で正対する一辺 $2a$ の正方極板 $\text{A}$ と $\text{B}$ からなる平行板コンデンサがある。$\text{AB}$ 間には，極板 $\text{A}$ に接するように誘電率 $\varepsilon$ の誘電体が挿入されており，誘電体の極板 $\text{B}$ 側の表面には厚さの無視できる極板 $\text{C}$ が張り付けられている。ただし，残りの部分は誘電率 $\varepsilon_0$ の真空であるとし，端効果は無視する。

　図では，極板 $\text{A}$ と $\text{B}$ に垂直で1辺に対して平行な任意の断面が描かれており，紙面に平行な任意の断面に対して誘電体の断面は同じである。図の左端と右端の誘電体の厚さは，それぞれ $d-b$ と $d+b$ （$0 \le b \ll d$）であるため，誘電体が極板間の体積のちょうど半分だけ封入されていることになる。

　図の $x$ 軸方向の区間 $l \leqq x \leqq l + \mathrm{d}l$ において，$x$ 軸に垂直な平面でこのコンデンサを仮想的に切り取った細長い平行板コンデンサを考える。なお，$\mathrm{d}l$ は十分小さくその中で誘電体の厚さは同じものとする。このとき，切り取った部分における $\text{AC}$ 間の静電容量は，(1) である。

　(1) を $-a \leqq l \leqq a$ の範囲で積分すると，$\text{AC}$ 間全体の静電容量が (2) と計算できる。また，対称性から $\text{CB}$ 間全体の静電容量は (3) である。

　よって，$\text{AB}$ 間全体の静電容量は (4) である。ここで，対数関数について成り立つ下の近似式を用いると，$\text{AB}$ 間全体の静電容量は (5) のように近似できる。この式から，$b$ をゼロから増やしたとき，$\text{AB}$ 間全体の静電容量は (6) ことがわかる。

\[ \begin{cases} \ln (1+\Delta) \approx \Delta - \dfrac{\Delta^2}{2} + \dfrac{\Delta^3}{3} \\ \ln (1-\Delta) \approx -\Delta - \dfrac{\Delta^2}{2} - \dfrac{\Delta^3}{3} \end{cases} \quad (\Delta \ll 1) \]

(ｲ)(1)	$\displaystyle \varepsilon\frac{2a}{d+\dfrac{b}{a}l}\mathrm{d}l$	(ﾛ)	減る	(ﾊ)	$\displaystyle 4(\varepsilon+\varepsilon_0)\dfrac{a^2}{d}$
(ﾆ)	変わらない	(ﾎ)	$\displaystyle \varepsilon\frac{2a}{d-\dfrac{b}{a}l}\mathrm{d}l$	(ﾍ)(6)	増える
(ﾄ)(4)	$\displaystyle 2\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{\varepsilon+\varepsilon_0}\frac{a^2}{b}\ln\!\left(\frac{d+b}{d-b}\right)$	(ﾁ)(5)	$\displaystyle 4\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{\varepsilon+\varepsilon_0}\frac{a^2}{d}\left(1+\dfrac{b^2}{3d^2}\right)$	(ﾘ)	$\displaystyle 2(\varepsilon-\varepsilon_0)\frac{a^2}{b}\ln\!\left(\frac{d-b}{d+b}\right)$
(ﾇ)	$\displaystyle 2\varepsilon\frac{a^2}{b}\ln\!\left(\frac{d-b}{d+b}\right)$	(ﾙ)	$\displaystyle 2\varepsilon_0\frac{a^2}{b}\ln\!\left(\frac{d}{b}\right)$	(ｦ)	$\displaystyle 4\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{\varepsilon+\varepsilon_0}\frac{a^2}{d}\left(1-\frac{b}{2d}\right)$
(ﾜ)	$\displaystyle \varepsilon\frac{2ab}{d+\dfrac{\mathrm{d}l}{a}l}$	(ｶ)(2)	$\displaystyle 2\varepsilon\frac{a^2}{b}\ln\!\left(\frac{d+b}{d-b}\right)$	(ﾖ)	$\displaystyle 2\varepsilon\frac{a^2}{b}\ln\!\left(\frac{d}{b}\right)$
(ﾀ)	$\displaystyle 2(\varepsilon+\varepsilon_0)\frac{a^2}{b}\ln\!\left(\frac{d+b}{d-b}\right)$	(ﾚ)	$\displaystyle 2\varepsilon_0\frac{a^2}{b}\ln\!\left(\frac{d-b}{d+b}\right)$	(ｿ)(3)	$\displaystyle 2\varepsilon_0\frac{a^2}{b}\ln\!\left(\frac{d+b}{d-b}\right)$

出典：令和8年度第一種電気主任技術者一次試験理論科目問6

解説

このコンデンサは真空部分と誘電体が挿入された部分の直列接続とみなせます。その距離は場所によって変わるので、後はそれを考慮して計算します。

切り取った微小部分におけるAC間の静電容量正解 (イ)

$x = 0$の時、誘電体の部分の距離は$d$、$x = a$の時は$d+b$であり、これは直線的に変化するので誘電体部分の距離は$ d + \dfrac{b}{a}x$です。

$x = l$の時、誘電体部分の距離は$ d + \dfrac{b}{a}l$で、コンデンサの微小部分の面積は$2a \cdot \mathrm{d}l$となるので、後はこれを用いてコンデンサの通常の公式$C = \varepsilon \dfrac{S}{d}$にあてはめます。

切り取った部分における$AC$間の静電容量を$\mathrm{d} C_{AC}$とすると

$$\begin{aligned} \mathrm{d} C_{AC} &= \varepsilon\frac{2a }{ d + \dfrac{b}{a}l} \mathrm{d}l\\ \end{aligned}$$

となります。よって答えは(イ)の$\displaystyle \varepsilon\frac{2a}{d+\dfrac{b}{a}l}\mathrm{d}l$です。

積分により求めたAC間全体の静電容量正解 (カ)

(1)の答えを$-a \leqq l \leqq a$で積分するだけです。

$$\begin{aligned} C_{AC} &= \int_{-a}^{a}\varepsilon\frac{2a}{d+\dfrac{b}{a}l}\mathrm{d}l \\ \end{aligned}$$

$u = d + \dfrac{b}{a}l$と置換すると、$\mathrm{d}u = \dfrac{b}{a} \mathrm{d}l$、積分範囲は$ d - b \rightarrow d + b $となるので

$$\begin{aligned} C_{AC} &= \varepsilon\cdot 2a\cdot\frac{a}{b}\int_{d-b}^{d+b}\frac{\mathrm{d}u}{u} \\ &= 2\varepsilon\frac{a^2}{b}\ln\left(\frac{d+b}{d-b}\right) \\ \end{aligned}$$

となります。よって答えは(カ)の$\displaystyle 2\varepsilon\frac{a^2}{b}\ln\left(\frac{d+b}{d-b}\right)$です。

対称性から求まるCB間全体の静電容量正解 (ソ)

CB間の静電容量$ C_{CB}$は、(2)と誘電率が違うだけになりますので

$$\begin{aligned} C_{BC} &= 2\varepsilon_0\frac{a^2}{b}\ln\left(\frac{d+b}{d-b}\right) \\ \end{aligned}$$

となります。よって答えは(ソ)の$2\varepsilon_0\dfrac{a^2}{b}\ln\left(\dfrac{d+b}{d-b}\right)$です。

AB間全体の静電容量正解 (ト)

ACとCBの間には極板が張り付けられていることから、コンデンサが直列接続されていると考えることができるので、(2)と(3)の答えをコンデンサの直列の公式にあてはめ全体の静電容量$C_{AB}$を計算します。

計算を簡単にするため、$C_{AC} = \varepsilon K$、$C_{CB} = \varepsilon_0 K$ （ただし $K = \dfrac{2a^2}{b} \ln \dfrac{d+b}{d-b}$）と置きます。

$$\begin{aligned} C_{AB} &= \frac{C_{AC} C_{CB}}{C_{AC} + C_{CB}} \\ &=\frac{\varepsilon\varepsilon_0 K^2}{(\varepsilon+\varepsilon_0)K} \\ &= \frac{\varepsilon\varepsilon_0}{\varepsilon+\varepsilon_0} \cdot K \\ &= \frac{2\varepsilon\varepsilon_0}{\varepsilon+\varepsilon_0}\cdot\frac{a^2}{b}\ln\left(\frac{d+b}{d-b}\right)\\ \end{aligned}$$

よって答えは(ト)の$\displaystyle 2\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{\varepsilon+\varepsilon_0}\frac{a^2}{b}\ln\left(\frac{d+b}{d-b}\right)$です。

対数近似を用いたAB間全体の静電容量の近似式正解 (チ)

与えられた近似式より

$$\begin{aligned} \ln\left(\frac{1+\Delta}{1-\Delta}\right) &= \ln(1+\Delta) - \ln(1-\Delta) \approx \left(\Delta - \frac{\Delta^2}{2} + \frac{\Delta^3}{3}\right) - \left(-\Delta - \frac{\Delta^2}{2} - \frac{\Delta^3}{3}\right) = 2\Delta + \frac{2}{3}\Delta^3 \\ \end{aligned}$$

これを今回の場合にあてはめると、$\ln\left(\dfrac{d+b}{d-b}\right) = \ln\left(\dfrac{1+\dfrac{b}{d}}{1-\dfrac{b}{d}}\right)$、 $ \left( \dfrac{b}{d}\ll 1 \right) $ なので、$\Delta=\dfrac{b}{d}$となります。

(4)の答えの$\ln\left(\dfrac{d+b}{d-b}\right)$を$ 2\dfrac{b}{d} + \dfrac{2}{3}{\dfrac{b^3}{d^3}} = 2\dfrac{b}{d}\left(1+\dfrac{b^2}{3d^2}\right)$とすると、

$$\begin{aligned} C_{AB} &\fallingdotseq \frac{2\varepsilon\varepsilon_0}{\varepsilon+\varepsilon_0}\cdot\frac{a^2}{b}\cdot 2\frac{b}{d}\left(1+\frac{b^2}{3d^2}\right) \\ &= \frac{4\varepsilon\varepsilon_0}{\varepsilon+\varepsilon_0}\cdot\frac{a^2}{d}\left(1+\frac{b^2}{3d^2}\right) \\ \end{aligned}$$

となりますので、答えは(チ)の$\displaystyle 4\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{\varepsilon+\varepsilon_0}\frac{a^2}{d}\left(1+\dfrac{b^2}{3d^2}\right)$です。

bを増加させたときの静電容量の変化正解 (ヘ)

(5)の式の通り、$b$の増加に伴い全体の静電容量は増えます。

よって答えは(ヘ)の増えるです。

正解一覧

(1) イ $\displaystyle \varepsilon\frac{2a}{d+\dfrac{b}{a}l}\mathrm{d}l$

(2) カ $\displaystyle 2\varepsilon\frac{a^2}{b}\ln\!\left(\frac{d+b}{d-b}\right)$

(3) ソ $\displaystyle 2\varepsilon_0\frac{a^2}{b}\ln\!\left(\frac{d+b}{d-b}\right)$

(4) ト $\displaystyle 2\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{\varepsilon+\varepsilon_0}\frac{a^2}{b}\ln\!\left(\frac{d+b}{d-b}\right)$

(5) チ $\displaystyle 4\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{\varepsilon+\varepsilon_0}\frac{a^2}{d}\left(1+\dfrac{b^2}{3d^2}\right)$

(6) ヘ増える

(ｲ)(1)	\(\displaystyle \varepsilon\frac{2a}{d+\dfrac{b}{a}l}\mathrm{d}l\)	(ﾛ)	減る	(ﾊ)	\(\displaystyle 4(\varepsilon+\varepsilon_0)\dfrac{a^2}{d}\)
(ﾆ)	変わらない	(ﾎ)	\(\displaystyle \varepsilon\frac{2a}{d-\dfrac{b}{a}l}\mathrm{d}l\)	(ﾍ)(6)	増える
(ﾄ)(4)	\(\displaystyle 2\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{\varepsilon+\varepsilon_0}\frac{a^2}{b}\ln\!\left(\frac{d+b}{d-b}\right)\)	(ﾁ)(5)	\(\displaystyle 4\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{\varepsilon+\varepsilon_0}\frac{a^2}{d}\left(1+\dfrac{b^2}{3d^2}\right)\)	(ﾘ)	\(\displaystyle 2(\varepsilon-\varepsilon_0)\frac{a^2}{b}\ln\!\left(\frac{d-b}{d+b}\right)\)
(ﾇ)	\(\displaystyle 2\varepsilon\frac{a^2}{b}\ln\!\left(\frac{d-b}{d+b}\right)\)	(ﾙ)	\(\displaystyle 2\varepsilon_0\frac{a^2}{b}\ln\!\left(\frac{d}{b}\right)\)	(ｦ)	\(\displaystyle 4\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{\varepsilon+\varepsilon_0}\frac{a^2}{d}\left(1-\frac{b}{2d}\right)\)
(ﾜ)	\(\displaystyle \varepsilon\frac{2ab}{d+\dfrac{\mathrm{d}l}{a}l}\)	(ｶ)(2)	\(\displaystyle 2\varepsilon\frac{a^2}{b}\ln\!\left(\frac{d+b}{d-b}\right)\)	(ﾖ)	\(\displaystyle 2\varepsilon\frac{a^2}{b}\ln\!\left(\frac{d}{b}\right)\)
(ﾀ)	\(\displaystyle 2(\varepsilon+\varepsilon_0)\frac{a^2}{b}\ln\!\left(\frac{d+b}{d-b}\right)\)	(ﾚ)	\(\displaystyle 2\varepsilon_0\frac{a^2}{b}\ln\!\left(\frac{d-b}{d+b}\right)\)	(ｿ)(3)	\(\displaystyle 2\varepsilon_0\frac{a^2}{b}\ln\!\left(\frac{d+b}{d-b}\right)\)