次の文章は，発振回路に関する記述である。文中のに当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。
図1の回路はヒステリシスコンパレータと積分回路からなる発振回路である。各素子の値は図内に示した変数で表され，電圧，抵抗値及び静電容量の単位はそれぞれ \([\mathrm{V}]\)，\([\Omega]\)，\([\mathrm{F}]\) である。また，演算増幅器の非反転入力端子の電位 \(V_+\) と反転入力端子の電位 \(V_-\) の電位差 \(V_+ - V_-\) と出力電圧 \(V_{\text{o}}\) の間には図2の関係があり，その他の特性は理想とする。
まず，ヒステリシスコンパレータの動作を考える。演算増幅器1の非反転入力端子の電位 \(V_{+,1}\) は，節点Aの電位 \(V_{\text{A}}\) と節点Bの電位 \(V_{\text{B}}\) を \(R_1\) と \(R_2\) で分圧したで分圧した電圧であるから，\(V_{+,1} = \) (1) となる。演算増幅器1の出力 \(V_{\text{B}}\) は，\(V_{+,1}\) の値に応じて \(-V_{\text{L}}\) または \(V_{\text{H}}\) となる。まず \(V_{\text{B}} = -V_{\text{L}}\) のときに \(V_{\text{A}}\) が負の値から時間とともに増加する場合を考える。\(V_{\text{A}}\) が (2) となるとき \(V_{+,1}\) は \(0 \ [\mathrm{V}]\) となるため，(2) は \(V_{\text{B}}\) が \(-V_{\text{L}}\) から \(V_{\text{H}}\) に変化するしきい値であることがわかる。同様に，\(V_{\text{B}} = V_{\text{H}}\) の状態で \(V_{\text{A}}\) が正の値から減少する場合を考える。\(V_{\text{A}}\) が (3) となると，\(V_{\text{B}}\) は \(V_{\text{H}}\) から \(-V_{\text{L}}\) に変化する。以上より，ヒステリシスコンパレータは，現在の出力に応じて，しきい値が変わることがわかる。
ヒステリシスコンパレータの出力 \(V_{\text{B}}\) は積分回路に入力される。積分回路の入力電圧を \(V_{\text{B}}\) とすると積分回路の出力電圧 \(V_{\text{A}}\) は傾き \(-\dfrac{V_{\text{B}}}{C R_3} \ [\mathrm{V/s}]\) で時間とともに変化する。
以上の性質を用いて図1の発振回路の発振周期を求める。回路は安定した発振動作をしており，ある時刻でヒステリシスコンパレータの出力 \(V_{\text{B}}\) が \(V_{\text{H}}\) から \(-V_{\text{L}}\) に変化したとする。このときの \(V_{\text{A}}\) は (3) である。\(V_{\text{B}} = -V_{\text{L}}\) であるとき，\(V_{\text{A}}\) は \(\dfrac{V_{\text{L}}}{C R_3}\) の傾きで増加するため，\(V_{\text{A}}\) が (3) から (2) まで変化するために要する時間は (4) \([\mathrm{s}]\) となる。\(V_{\text{A}}\) が (2) となると \(V_{\text{B}}\) は \(-V_{\text{L}}\) から \(V_{\text{H}}\) に変化するため \(V_{\text{A}}\) は減少に転じ，その傾きは \(-\dfrac{V_{\text{H}}}{C R_3}\) となる。この発振回路の周期は，\(V_{\text{A}}\) が (2) から再び (3) まで変化するために要する時間と (4) の和から，(5) \([\mathrm{s}]\) と求まる。
解答群
| (ｲ) |
\(0\) |
(ﾛ) |
\(\displaystyle \frac{C R_2 R_3}{R_1}\frac{\left(V_\mathrm{H}+V_\mathrm{L}\right)^2}{V_\mathrm{H}V_\mathrm{L}}\) |
(ﾊ)(2) |
\(\displaystyle \frac{R_1}{R_2}V_\mathrm{L}\) |
| (ﾆ) |
\(\displaystyle \frac{C R_1 R_3}{R_2 V_\mathrm{L}}\left(V_\mathrm{H}-V_\mathrm{L}\right)\) |
(ﾎ) |
\(\displaystyle -\frac{R_1}{R_2}V_\mathrm{L}\) |
(ﾍ)(1) |
\(\displaystyle \frac{R_2}{R_1+R_2}V_\mathrm{A}+\frac{R_1}{R_1+R_2}V_\mathrm{B}\) |
| (ﾄ) |
\(\displaystyle \frac{R_1}{R_2}V_\mathrm{H}\) |
(ﾁ) |
\(\displaystyle \frac{C R_2 R_3}{R_1 V_\mathrm{L}}\left(V_\mathrm{H}+V_\mathrm{L}\right)\) |
(ﾘ) |
\(\displaystyle -\frac{R_2}{R_1}V_\mathrm{H}\) |
| (ﾇ)(5) |
\(\displaystyle \frac{C R_1 R_3}{R_2}\frac{\left(V_\mathrm{H}+V_\mathrm{L}\right)^2}{V_\mathrm{H}V_\mathrm{L}}\) |
(ﾙ) |
\(\displaystyle \frac{R_2}{R_1}V_\mathrm{L}\) |
(ｦ)(4) |
\(\displaystyle \frac{C R_1 R_3}{R_2 V_\mathrm{L}}\left(V_\mathrm{H}+V_\mathrm{L}\right)\) |
| (ﾜ) |
\(\displaystyle \frac{C R_1 R_3}{R_2}\frac{\left(V_\mathrm{H}-V_\mathrm{L}\right)^2}{V_\mathrm{H}V_\mathrm{L}}\) |
(ｶ)(3) |
\(\displaystyle -\frac{R_1}{R_2}V_\mathrm{H}\) |
(ﾖ) |
\(\displaystyle \frac{R_1}{R_1+R_2}V_\mathrm{A}+\frac{R_2}{R_1+R_2}V_\mathrm{B}\) |
出典：令和8年度 第一種電気主任技術者 一次試験 理論科目 問3
解説
この手の問題はまず文章を読むのが大変なので、本番では問題の難しさ以上に苦戦すると思います。
非反転入力端子の電位\(V_{+,1}\)の分圧式
正解 (ヘ)
Aから\(R_1\)の方向に流れる電流は\(\dfrac{V_{\mathrm{A}} - V_{+,1}}{R_1}\) です。また、\(R_2\)からBの方向に流れる電流は\( \dfrac{V_{+,1} - V_{\mathrm{B}}}{R_2}\)です。
理想演算増幅器の入力端子には電流が流れ込まないので、この2つは等しくなります。よって
$$\begin{aligned}
\dfrac{V_{\mathrm{A}} - V_{+,1}}{R_1} &= \dfrac{V_{+,1} - V_{\mathrm{B}}}{R_2}\\
\end{aligned}$$
が成り立ちます。これを整理します。
$$\begin{aligned}
\frac{V_{\mathrm{A}} - V_{+,1}}{R_1} &= \frac{V_{+,1} - V_{\mathrm{B}}}{R_2} \\
R_2 (V_{\mathrm{A}} - V_{+,1}) &= R_1 (V_{+,1} - V_{\mathrm{B}}) \\
R_2 V_{\mathrm{A}} - R_2 V_{+,1} &= R_1 V_{+,1} - R_1 V_{\mathrm{B}} \\
R_1 V_{+,1} + R_2 V_{+,1} &= R_2 V_{\mathrm{A}} + R_1 V_{\mathrm{B}} \\
(R_1 + R_2) V_{+,1} &= R_2 V_{\mathrm{A}} + R_1 V_{\mathrm{B}} \\
V_{+,1} &= \frac{R_2 }{R_1 + R_2}V_{\mathrm{A}} + \frac{R_1 }{R_1 + R_2}V_{\mathrm{B}} \\
\end{aligned}$$
よって答えは(ヘ)の\(\displaystyle \frac{R_2}{R_1+R_2}V_\mathrm{A}+\frac{R_1}{R_1+R_2}V_\mathrm{B}\)です。
\(V_{\text{B}} = -V_{\text{L}}\)のとき\(V_{\text{B}}\)が\(V_{\text{H}}\)に反転するしきい値電圧\(V_{\text{A}}\)
正解 (ハ)
(1)に\(V_{+,1}=0\)、\(V_{\text{B}} = -V_{\text{L}}\)を代入しその時の\(V_{\text{A}}\)を求めます。
$$\begin{aligned}
V_{+,1} &= \frac{R_2 }{R_1 + R_2}V_{\mathrm{A}} + \frac{R_1 }{R_1 + R_2}V_{\mathrm{B}} \\
0 &= \frac{R_2 }{R_1 + R_2}V_{\mathrm{A}} - \frac{R_1 }{R_1 + R_2}V_{\text{L}} \\
R_2 V_{\mathrm{A}} &= R_1V_{\text{L}} \\
V_{\mathrm{A}} &= \dfrac{R_1}{R_2 }V_{\text{L}} \\
\end{aligned}$$
よって答えは(ハ)の\(\displaystyle \frac{R_1}{R_2}V_\mathrm{L}\)です。
\(V_{\text{B}} = V_{\text{H}}\)のとき\(V_{\text{B}}\)が\(-V_{\text{L}}\)に反転するしきい値電圧\(V_{\text{A}}\)
正解 (カ)
同様に、(1)に\(V_{+,1}=0\)、\(V_{\text{B}} = V_{\text{H}}\)を代入しその時の\(V_{\text{A}}\)を求めます。
$$\begin{aligned}
V_{+,1} &= \frac{R_2 }{R_1 + R_2}V_{\mathrm{A}} + \frac{R_1 }{R_1 + R_2}V_{\mathrm{B}} \\
0 &= \frac{R_2 }{R_1 + R_2}V_{\mathrm{A}} + \frac{R_1 }{R_1 + R_2}V_{\text{H}} \\
R_2 V_{\mathrm{A}} &= -R_1V_{\text{H}} \\
V_{\mathrm{A}} &= -\dfrac{R_1}{R_2 }V_{\text{H}} \\
\end{aligned}$$
よって答えは(カ)の\(\displaystyle -\frac{R_1}{R_2}V_\mathrm{H}\)です。
\(V_{\text{A}}\)が(3)から(2)へ変化するのに要する時間
正解 (ヲ)
問題文にある通り、\(V_{\text{B}} = -V_{\text{L}}\)の時、\(V_{\text{A}}\)は\(\dfrac{V_{\text{L}}}{C R_3}\) の傾きで増加します。
(3)と(2)の通り、これは\(\displaystyle -\frac{R_1}{R_2}V_\mathrm{H}\)から\(\displaystyle \frac{R_1}{R_2}V_\mathrm{L}\)まで増加するわけですから、この差を傾きで除したものが時間となります。
$$\begin{aligned}
\dfrac {\dfrac{R_1}{R_2}V_\mathrm{L} - \left( -\dfrac{R_1}{R_2}V_\mathrm{H} \right) }{\dfrac{V_{\text{L}}}{C R_3}} &= \dfrac{CR_1R_3 }{R_2 V_{\text{L}}} \left(V_H + V_L \right)\\
\end{aligned}$$
よって答えは(ヲ)の\(\displaystyle \frac{C R_1 R_3}{R_2 V_\mathrm{L}}\left(V_\mathrm{H}+V_\mathrm{L}\right)\)です。
回路の発振周期
正解 (ヌ)
\(V_B = V_H\)の時の期間も同様に計算します。傾きは\(-\dfrac{V_{\text{H}}}{C R_3}\) です。
これは\(\displaystyle \frac{R_1}{R_2}V_\mathrm{L}\)から\(\displaystyle -\frac{R_1}{R_2}V_\mathrm{H}\)まで減少するわけですから、この差を傾きで除したものが時間となります。
$$\begin{aligned}
\dfrac {-\dfrac{R_1}{R_2}V_\mathrm{H} - \dfrac{R_1}{R_2}V_\mathrm{L} }{-\dfrac{V_{\text{H}}}{C R_3}} &= \dfrac{CR_1R_3 }{R_2 V_{\text{H}}} \left(V_H + V_L \right) \\
\end{aligned}$$
周期\(T\)は、これと(4)の答えの和となりますので
$$\begin{aligned}
T &= \dfrac{CR_1R_3 }{R_2 V_{\text{H}}} \left(V_H + V_L \right) + \frac{C R_1 R_3}{R_2 V_\mathrm{L}}\left(V_\mathrm{H}+V_\mathrm{L}\right)\\
&= \dfrac{CR_1R_3 V_{\text{L}} }{R_2 V_{\text{H}}V_{\text{L}}} \left(V_H + V_L \right) + \frac{C R_1 R_3 V_{\text{H}}}{R_2 V_{\text{H}} V_\mathrm{L}}\left(V_\mathrm{H}+V_\mathrm{L}\right)\\
&= \dfrac{CR_1R_3 }{R_2 V_{\text{H}}V_{\text{L}}} \left(V_H + V_L \right) \left(V_H + V_L \right)\\
&= \frac{C R_1 R_3}{R_2}\frac{\left(V_\mathrm{H}+V_\mathrm{L}\right)^2}{V_\mathrm{H}V_\mathrm{L}} \\
\end{aligned}$$
となります。よって答えは(ヌ)の\(\displaystyle \frac{C R_1 R_3}{R_2}\frac{\left(V_\mathrm{H}+V_\mathrm{L}\right)^2}{V_\mathrm{H}V_\mathrm{L}}\)です。
(1)
ヘ
\(\displaystyle \frac{R_2}{R_1+R_2}V_\mathrm{A}+\frac{R_1}{R_1+R_2}V_\mathrm{B}\)
(2)
ハ
\(\displaystyle \frac{R_1}{R_2}V_\mathrm{L}\)
(3)
カ
\(\displaystyle -\frac{R_1}{R_2}V_\mathrm{H}\)
(4)
ヲ
\(\displaystyle \frac{C R_1 R_3}{R_2 V_\mathrm{L}}\left(V_\mathrm{H}+V_\mathrm{L}\right)\)
(5)
ヌ
\(\displaystyle \frac{C R_1 R_3}{R_2}\frac{\left(V_\mathrm{H}+V_\mathrm{L}\right)^2}{V_\mathrm{H}V_\mathrm{L}}\)