次の文章は，\(\text{n}\)形半導体中の電子濃度及びキャリヤ輸送機構に関する記述である。文中のに当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。
図のように，\(\text{n}\)形半導体中の電子濃度が \(x\) 軸に沿って一様ではない場合，電子濃度の高い方から低い方へ向けて電子の流れが生じる。この電流を (1) 電流と呼ぶ。この大きさが濃度勾配 \(\dfrac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}x}\) に比例すると仮定すると，電流密度の式は次のように表される。
\[ e D_{\text{e}} \dfrac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}x} \] ①
ただし，\(e\) は電気素量，\(D_{\text{e}}\) は電子の (1) 定数と呼ばれる比例定数である。
一方，半導体中の電界を \(E\) とすると，電界から受ける力と，散乱等による摩擦力のつり合いにより，定常状態では電子は一定の平均速度 \(v\) で運動する。\(v\) と \(E\) の関係は次の式で表される。
\[ v = -\mu_{\text{e}} E \] ②
ただし，\(\mu_{\text{e}}\) は電子の (2) と呼ばれる。この場合の電流密度は，\(v\)，\(n\) 及び \(e\) を用いて次の式で表される。
(3) ③
熱平衡状態においては，①式と③式で表される電流密度の和が \(0\) であることから，\(\dfrac{1}{n}\dfrac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}x}\)，\(\mu_{\text{e}}\)，\(E\) 等を用いた次の式が成り立つ。
\( \dfrac{1}{n} \dfrac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}x} = - \)(4)\(n\) ④
電位 \(V\) と電界 \(E\) の関係は次のように表される。
\( E = -\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x} \) ⑤
熱平衡状態における半導体中の電子のエネルギー分布をボルツマン分布と仮定すると，\(n\) と \(V\) の関係は次のように表される。
\( n = N_{\text{F}} \exp \left( \dfrac{e V}{k_{\text{B}} T} \right) \) ⑥
ただし，\(T\) は絶対温度，\(k_{\text{B}}\) はボルツマン定数であり，\(N_{\text{F}}\) は定数と考えてよい。
④式に，⑤式及び⑥式を適用すると，\(D_{\text{e}}\) と \(\mu_{\text{e}}\) の間に次の関係があることが導かれる。
\( \dfrac{D_{\text{e}}}{\mu_{\text{e}}} = \)(5)
この関係はアインシュタインの関係式と呼ばれる。
解答群
| (ｲ)(5) |
\(\displaystyle \frac{k_\mathrm{B}T}{e}\) |
(ﾛ)(1) |
拡散 |
(ﾊ) |
\(\displaystyle -\frac{e n v}{2}\) |
| (ﾆ) |
摩擦係数 |
(ﾎ)(3) |
\(-e n v\) |
(ﾍ)(2) |
移動度 |
| (ﾄ) |
\(\displaystyle -\frac{n v}{e}\) |
(ﾁ) |
透磁率 |
(ﾘ) |
\(e k_\mathrm{B}T\) |
| (ﾇ) |
\(\displaystyle \frac{\mu_\mathrm{e}}{D_\mathrm{e}E}\) |
(ﾙ) |
\(\displaystyle \frac{D_\mathrm{e}E}{\mu_\mathrm{e}}\) |
(ｦ) |
再結合 |
| (ﾜ) |
ドリフト |
(ｶ)(4) |
\(\displaystyle \frac{\mu_\mathrm{e}E}{D_\mathrm{e}}\) |
(ﾖ) |
\(\displaystyle \frac{e}{k_\mathrm{B}T}\) |
出典：令和8年度 第一種電気主任技術者 一次試験 理論科目 問2
解説
解くのに時間を要しない問題なので、このような問題を早く終わらせて他の計算問題に時間をかけられるようにできるといいと思います。
電子の濃度勾配によって生じる電流および定数
正解 (ロ)
キャリアの濃度差によって電荷が移動することによって生じる電流のことを拡散電流といいます。
$$\begin{aligned}
& e D_{\text{e}} \dfrac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}x} \\
\end{aligned}$$
また、この電流密度の式において\(D_{\text{e}}\)は拡散定数と呼ばれます。
よって答えは(ロ)の拡散です。
平均速度と電界の比例定数
正解 (ヘ)
電界\(E\)で電子は加速されますが、定常状態では一定の平均速度\(v\)となります。この時の比例定数を移動度といいます。
よって答えは(ヘ)の移動度です。
ドリフト運動による電流密度の表記
正解 (ホ)
電流密度は単位体積あたりの電荷に速度をかけることで求められます。電子1個の電荷は\(-e\)、濃度は\(n\)なので、
$$\begin{aligned}
&-e n v \\
\end{aligned}$$
となります。答えは(ホ)の\(-e n v\)です。
熱平衡状態における電流密度の和から導く式
正解 (カ)
熱平衡状態においては、(1)の電流密度と(2)で求めた電流密度の和は0になるので、
$$\begin{aligned}
e D_{\text{e}} \dfrac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}x} + \left(-e n v\right) &= 0 \\
\end{aligned}$$
が成り立ちます。これを整理します。
$$\begin{aligned}
e D_{\text{e}} \dfrac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}x} &= e n v \\
D_{\text{e}} \dfrac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}x} &= n v \\
\dfrac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}x} &= \dfrac{v}{D_{\text{e}} } n \\
\dfrac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}x} &= - \dfrac{\mu_{\text{e}} E}{D_{\text{e}} } n \\
\end{aligned}$$
よって答えは(カ)の\(\displaystyle \frac{\mu_\mathrm{e}E}{D_\mathrm{e}}\)です。
アインシュタインの関係式における比\(D_{\text{e}} / \mu_{\text{e}}\)
正解 (イ)
問題に与えられた式、\( n = N_{\text{F}} \exp \left( \dfrac{e V}{k_{\text{B}} T} \right) \)を④式のように\(x\)で微分します。
ここで、\(V\)は\(x\)の関数なので、\(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} e^{g(x)} = e^{g(x)} \cdot \dfrac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}\)ですから
$$\begin{aligned}
\dfrac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}x} &= N_{\text{F}} \exp \left( \dfrac{e V}{k_{\text{B}} T} \right) \cdot \dfrac{e}{k_{\text{B}} T} \dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x}\\
\end{aligned}$$
ここで、\( n = N_{\text{F}} \exp \left( \dfrac{e V}{k_{\text{B}} T} \right) \)ですから
$$\begin{aligned}
\dfrac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}x} &= N_{\text{F}} \exp \left( \dfrac{e V}{k_{\text{B}} T} \right) \cdot \dfrac{e}{k_{\text{B}} T} \dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x}\\
&= \dfrac{en}{k_{\text{B}} T} \dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x}\\
\end{aligned}$$
⑤式、\( E = -\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x} \)を代入すると
$$\begin{aligned}
\dfrac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}x} &= \dfrac{en}{k_{\text{B}} T} \dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x}\\
&= -\dfrac{enE}{k_{\text{B}} T} \\
\end{aligned}$$
これは(4)の④式\(\dfrac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}x}\)と等しいので
$$\begin{aligned}
- \dfrac{\mu_{\text{e}} E}{D_{\text{e}} } n &= -\dfrac{enE}{k_{\text{B}} T} \\
\end{aligned}$$
となります。これを整理すると
$$\begin{aligned}
- \dfrac{\mu_{\text{e}} E}{D_{\text{e}} } n &= -\dfrac{enE}{k_{\text{B}} T} \\
\dfrac{\mu_{\text{e}} }{D_{\text{e}} } &= \dfrac{e}{k_{\text{B}} T} \\
\dfrac{ D_{\text{e}}}{ \mu_{\text{e}}} &= \dfrac{k_{\text{B}} T}{e} \\
\end{aligned}$$
よって答えは(イ)の\(\displaystyle \frac{k_\mathrm{B}T}{e}\)です。
(1)
ロ
拡散
(2)
ヘ
移動度
(3)
ホ
\(-e n v\)
(4)
カ
\(\displaystyle \frac{\mu_\mathrm{e}E}{D_\mathrm{e}}\)
(5)
イ
\(\displaystyle \frac{k_\mathrm{B}T}{e}\)