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解説

過去問にないタイプの問題です。数学力があれば問題ないですが、ないと問題を理解するところで手間取ると思います。一応冷静に考えれば知識がなくてもある程度は解けると思います。ただ理論は時間足りなくなりがちです。

\(B_H(x)\) を \(B(x)\) で表す

与えられた式に\(x=0\)を代入すると\(\displaystyle B(0) = \frac{\mu_0 I}{2R}\) になります。

左のコイルでは\(\displaystyle x=-\frac{R}{2}\)の時に\(\displaystyle \frac{\mu_0 I}{2R}\)にならないといけないので、

\(\displaystyle B(x+\frac{R}{2}) \)

となります。同様に、右のコイルでは\(\displaystyle x=\frac{R}{2}\)の時に\(\displaystyle \frac{\mu_0 I}{2R}\)にならないといけないので、

\(\displaystyle B(x-\frac{R}{2}) \)

となります。電流の向きが同じであることから、\(B_H(x)\)はこれらの和となりますので、

\(\displaystyle B_H(x) = B(x+\frac{R}{2}) + B(x-\frac{R}{2}) \)

となります。

\(B_H''(0) \)

問題にて二階微分の計算結果が与えられています。それより、\(\displaystyle B''(x) = \frac{\mu_0 I R^2 (12x^2 - 3R^2)}{2(x^2 + R^2)^{\frac{7}{2}}} \)です。

\(B_H''(0) \)は

\begin{aligned} B_H''(0) = B''\left(\frac{R}{2}\right) + B''\left(-\frac{R}{2}\right) \end{aligned}

となりますので、\(\displaystyle B''(\frac{R}{2})\)と\(\displaystyle B''(-\frac{R}{2})\)をそれぞれ計算しますと

\begin{aligned} B''\left(\frac{R}{2}\right) &= \frac{\mu_0 I R^2 \left\{12\left(\frac{R}{2}\right)^2 - 3R^2\right\}}{2\left\{\left(\frac{R}{2}\right)^2 + R^2\right\}^{7/2}}\\ &= \frac{\mu_0 I R^2 (3R^2 - 3R^2)}{2\left(\frac{R^2}{4} + R^2\right)^{7/2}}\\ &= 0\\ \end{aligned}

\begin{aligned} B''\left(-\frac{R}{2}\right) &= \frac{\mu_0 I R^2 \left\{12\left(-\frac{R}{2}\right)^2 - 3R^2\right\}}{2\left\{\left(-\frac{R}{2}\right)^2 + R^2\right\}^{7/2}}\\ &= \frac{\mu_0 I R^2 (3R^2 - 3R^2)}{2\left(\frac{R^2}{4} + R^2\right)^{7/2}}\\ &= 0\\ \end{aligned}

よって

\(B_H''(0) =0 \)

です。

\(B_H(x) \)は偶関数か奇関数か

偶関数: \(f(-x)=f(x)\)を満たす関数。y軸に関して対称なグラフを持ちます。

奇関数: \(f(-x)=-f(x)\) を満たす関数。原点に関して対称なグラフを持ちます。

\begin{aligned} B(x) &= \frac{\mu_0 I R^2}{2(x^2 + R^2)^{\frac{3}{2}}} \\ B(-x) &= \frac{\mu_0 I R^2}{2\left\{(-x)^2 + R^2\right\}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(x^2 + R^2)^{\frac{3}{2}}} = B(x) \\ \end{aligned}

問題文にある通り、\(B(x) \)は偶関数であることが分かります。

偶関数と偶関数の和は偶関数なので、

\begin{aligned} B_H(-x) &= B\left(-x + \frac{R}{2}\right) + B\left(-x - \frac{R}{2}\right)\\ &= B\left(x - \frac{R}{2}\right) + B\left(x + \frac{R}{2}\right) \\ &= B\left(x + \frac{R}{2}\right) + B\left(x - \frac{R}{2}\right)\\ &= B_H(x) \end{aligned}

です。よって\(B_H(x)\)は偶関数です。

問題解く上では必ずしも必要ではないですが、\(x\)の奇数乗の項は全てゼロになることについて。

偶関数は微分すると奇関数になります。

微分の定義

\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\\ \end{aligned}

\( f'(-x) \)を計算。偶関数の定義より、\( f(−x+h)=f(x−h) \) および\() f(−x)=f(x) \)なので、

\begin{aligned} f'(-x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(-x + h) - f(-x)}{h}\\ &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x - h) - f(x)}{h}\\ \end{aligned}

分母と分子にマイナスをかけます

\begin{aligned} f'(-x) &= -\lim_{h \to 0} \frac{f(x + (-h)) - f(x)}{-h}\\ f'(-x) &= -f'(x)\\ \end{aligned}

奇関数は原点に対して対称な関数であり、\(f'(0)=0 \)となります。

奇関数を微分すると偶関数になり、偶関数を微分すると奇関数になるので\(x\)の奇数乗の項は奇関数になります。

\(x\)の0になる項

今までの解答により、\(B_H'(0) \)、\(B_H''(0) \)、\(B_H'''(0) \)が0になることが分かりましたので、\(x\)の3乗の項までが0になります。

原点近傍で得られる磁界

\(x^4\)以降の項は\(x\)が小さい範囲では影響は小さいため、原点近傍では定数項のみとなりほぼ一定の磁界が得られることが分かります。