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解説

二次試験においてもこの手の計算は出てくるため、きちんとやっておくべき問題でしょう。ブロンデルの定理自体は暗記でも大丈夫です。式さえ立てられれば難しい問題ではないです。

定理の名前

n線式の多相交流回路において、その全消費電力を測定するには、少なくとも(n-1)個の単相電力計が必要であるという定理をブロンデルの定理といいます。

\( \dot{I}_a \)の実効値\( |\dot{I}_a| \)

問題の図にはありませんが、b相の線電流を\( \dot{I}_b \)とします。

下図のように一周する回路を考えます。

以下の関係式が成り立つので、これから\( \dot{I}_a \)を求めます。

\begin{aligned} \dot{E}_{ab} &= R\dot{I}_a - R\dot{I}_b \\ \dot{E}_{ca} &= 2R\dot{I}_c - R\dot{I}_a \\ 0 &= \dot{I}_a + \dot{I}_b + \dot{I}_c \implies \dot{I}_b = -\dot{I}_a - \dot{I}_c \\ \end{aligned}

\( \dot{I}_b \)を消去して\( \dot{I}_c \)を求めます。

\begin{aligned} \dot{E}_{ab} &= R\dot{I}_a - R(-\dot{I}_a - \dot{I}_c) \\ \dot{E}_{ab} &= 2R\dot{I}_a + R\dot{I}_c \\ \dot{I}_{c} &= \frac{\dot{E}_{ab} - 2R\dot{I}_{a}}{R} \end{aligned}

\( \dot{I}_c \)を消去して\( \dot{I}_a \)を求めます。

\begin{aligned} \dot{E}_{ca} &= 2R \left( \frac{\dot{E}_{ab} - 2R\dot{I}_a}{R} \right) - R\dot{I}_a \\ \dot{E}_{ca} &= 2\dot{E}_{ab} - 5R\dot{I}_a\\ \dot{I}_a &= \frac{2\dot{E}_{ab} - \dot{E}_{ca}}{5R}\\ \dot{I}_a &= \frac{2E - E(-\frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2})}{5R} \\ \dot{I}_a &= \frac{\frac{5}{2}E - j\frac{\sqrt{3}}{2}E}{5R}\\ \dot{I}_{a} &= \frac{E}{10R} (5 - j\sqrt{3})\\ \end{aligned}

絶対値を求めます。

\begin{aligned} |\dot{I}_{a}| &= \frac{E}{10R} \sqrt{5^2 + (-\sqrt{3})^2} \\ &= \frac{E}{10R} \sqrt{28} \\ \ &= \frac{\sqrt{7}E}{5R} \end{aligned}

\( W_a \)の指示値

問題文にある通り、\(W_a\)は\( \dot{E_{ab}} \)に\( \dot{I_a} \)の共役複素数を乗じた複素電力の実部なので

\begin{aligned} \displaystyle W_a &= \text{Re} \{ \dot{E}_{ab} \overline{\dot{I}_a} \} =\text{Re} \left\{ \frac{E^2}{10R} (5 + j\sqrt{3}) \right\} \\ &= \text{Re} \left\{ \frac{E^2}{2R} + j\frac{\sqrt{3}E^2}{10R} \right\} \\ &= \frac{E^2}{2R} \end{aligned}

となります。

\( \dot{I}_c \)の実効値\( |\dot{I}_c| \)

(1)より\( \dot{I}_a \)は分かっているため、\( \dot{I}_c \)の式に\( \displaystyle \dot{I}_{a} = \frac{E}{10R} (5 - j\sqrt{3}) = \frac{E}{2R} - j\frac{\sqrt{3}E}{10R}\)を代入します。

\begin{aligned} \dot{I}_c &= \frac{\dot{E}_{ab}}{R} - 2\dot{I}_a \\ &= \frac{E}{R} - 2 \left( \frac{E}{2R} - j\frac{\sqrt{3}E}{10R} \right) \\ &= j\frac{\sqrt{3}E}{5R} \\ \end{aligned}

よって、実効値は

\begin{aligned} |\dot{I}_c| &= \frac{\sqrt{3}E}{5R} \\ \end{aligned}

となります。

\( W_c \)の指示値

(2)と考え方は同様ですが、ここで気を付けなければいけないのは\(\dot{E}_{cb}\)を見てるということです。

\(\dot{E}_{cb}\)は\(\dot{E}_{bc}\)の反対なので

\begin{aligned} \dot{E}_{cb} &= -\dot{E}_{bc} = -E e^{j\frac{4}{3}\pi} = -E \left\{ \cos(\frac{4\pi}{3}) + j\sin(\frac{4\pi}{3})\right\} \\ \dot{E}_{cb} &= -E (-\frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2}) = E (\frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}) \end{aligned}

となります。これに(4)で求めた\(\dot{I}_c\)の共役を乗じますと

\begin{aligned} W_c &= \text{Re} \{ \dot{E}_{cb} \overline{\dot{I}_c} \} \\ W_c &= \text{Re} \left\{ E \left( \frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \left( -j\frac{\sqrt{3}E}{5R} \right) \right\} \\ W_c &= \text{Re} \left\{ \frac{3E^2}{10R} - j\frac{\sqrt{3}E^2}{10R} \right\} \\ W_c &= \frac{3E^2}{10R} \\ \end{aligned}

となります。

なお、三相交流回路で消費する電力は

\begin{aligned} W_a + W_c &= \frac{E^2}{2R} +\frac{3E^2}{10R} \\ &= \frac{4E^2}{5R} \\ \end{aligned}

です。

参考:\(W_a + W_c\)が三相交流回路で消費する電力になることについて

回路の合計消費電力は、各抵抗と電流より計算すると\( P = R |\dot{I}_a|^2 + R |\dot{I}_b|^2 + 2R |\dot{I}_c|^2 \)です。

一方、\(W_a + W_c\)は

\begin{aligned} W_a + W_c = \text{Re} \{ \dot{E}_{ab} \overline{\dot{I}_a} + \dot{E}_{cb} \overline{\dot{I}_c} \} \\ \end{aligned}

で表せます。ここに、\(\dot{E}_{ab} =R\dot{I}_a - R\dot{I}_b \)、\(\dot{E}_{cb} = 2R\dot{I}_c - R\dot{I}_b \)を代入します。

なお、以後の計算で\(A \bar{A} = |A|^2\)です。

\begin{aligned} W_a + W_c &= \text{Re} \{ (R\dot{I}_a - R\dot{I}_b) \overline{\dot{I}_a} + (2R\dot{I}_c - R\dot{I}_b) \overline{\dot{I}_c} \} \\ &= R |\dot{I}_a|^2 + 2R |\dot{I}_c|^2 - \text{Re} \{R \dot{I}_b (\overline{\dot{I}_a} + \overline{\dot{I}_c}) \} \end{aligned}

ここで、\( \overline{\dot{I}_a} + \overline{\dot{I}_c} = -\overline{\dot{I}_b}\)であることを考慮すると

\begin{aligned} W_a + W_c &= R |\dot{I}_a|^2 + 2R |\dot{I}_c|^2 - \text{Re} \{R \dot{I}_b (-\overline{\dot{I}_b}) \} \\ &= R |\dot{I}_a|^2 + R |\dot{I}_b|^2 + 2R |\dot{I}_c|^2 \end{aligned}

となり、三相交流回路の消費電力と一致しました。