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解説

ラプラス変換での回路方程式の解き方を学べる問題です。

ラプラス変換した回路方程式

ラプラス変換の公式\(\displaystyle \mathcal{L}\left\{ \frac{df(t)}{dt} \right\} = sF(s) - f(0) \)より

\(\displaystyle L [sI(s) - i(0)] + R_1 I(s) = \frac{V}{s}\)

です。

電流の初期値\(i(0)\)

定常状態においてリアクトル\(L\)は短絡とみなせ、\(R_1\)と\(R_2\)だけの回路になるため、\(i(0)\)は

\(\displaystyle i(0) = \frac{V}{R_1 + R_2}\)

となります。

ラプラス変換された電流\(I(s)\)

(1)に\(\displaystyle i(0) = \frac{V}{R_1 + R_2}\)を代入し整理します。

\begin{aligned} L [sI(s) - i(0)] + R_1 I(s) &= \frac{V}{s} \\ L \left[ sI(s) - \frac{V}{R_1 + R_2} \right] + R_1 I(s) &= \frac{V}{s}\\ sLI(s) - \frac{LV}{R_1 + R_2} + R_1 I(s) &= \frac{V}{s} \\ (sL + R_1) I(s) &= \frac{V}{s} + \frac{LV}{R_1 + R_2}\\ I(s) = \frac{V}{s(sL + R_1)} + &\frac{L}{sL + R_1} \cdot \frac{V}{R_1 + R_2} \end{aligned}

となります。

よって答えは\(\displaystyle \frac{V}{s(sL + R_1)} \)です。

逆ラプラス変換した\(i(t)\)

下の式を逆ラプラス変換します。

\begin{aligned} I(s) = \frac{V}{s(sL + R_1)} + \frac{LV}{(R_1 + R_2)(sL + R_1)} \\ \end{aligned}

右辺第二項はそのまま逆ラプラス変換できます。第一項は部分分数分解する必要があります。

第一項について考えます。

\begin{aligned} \frac{V}{s(sL + R_1)} &= \frac{V}{L s (s + \displaystyle \frac{R_1}{L})} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s +\displaystyle \frac{R_1}{L}} \\ \frac{V}{L} &= A (s + \frac{R_1}{L}) + B s\\ \end{aligned}

この時

\begin{aligned} (A+B) s &= 0 \\ A= \frac{V}{R_1} \\ \end{aligned}

が成り立ちますので、\(\displaystyle B = - \frac{V}{R_1}\)となります。

よって、第一項の逆ラプラス変換は

\begin{aligned} \frac{V}{s(sL + R_1)} &= \frac{V}{R_1} \left( \frac{1}{s} - \frac{1}{s + \dfrac{R_1}{L}} \right)\\ \mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{V}{s(sL + R_1)} \right\} &= \frac{V}{R_1} (1 - e^{-\frac{R_1}{L} t})\\ \end{aligned}

となります。

第二項も逆ラプラス変換をし、これらを足し合わせた\(i(t) \)は以下となります。なお、ここで\(\displaystyle \tau = \frac{L}{R_1}\)です。

\begin{aligned} i(t) = \frac{V}{R_1} (1 - e^{-\frac{t}{\tau}}) + \frac{V}{R_1 + R_2} e^{-\frac{t}{\tau}} \end{aligned}

よって(4)は\(\displaystyle \frac{V}{R_1} (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})\)です。

なお、スイッチSを閉じた場合最終的に\(\displaystyle i(\infty) = \frac{V}{R_1}\)にならないといけないので、その時点で答えは（ハ）に絞れます。

時定数\(\tau\)

(4)の通り、\(\displaystyle \tau = \frac{L}{R_1}\)です。