電験一種 R5年 理論 問2
次の文章は，ポインティングベクトルに関する記述である。文中の(0)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。
誘電率 \(\varepsilon\), 透磁率 \(\mu\) 及び導電率 \(\sigma\) がそれぞれ \(\varepsilon\), \(\mu\) 及び \(\sigma\) で一様な微小領域 \( V \) を想定する。 \( V \) 内において電界及び磁界は一様であり，時刻 \( t \) における電界ベクトルが \(\vec{E}\), 磁界ベクトルが \(\vec{H}\) であるとき, \( V \) 内の単位体積当たりの電磁界エネルギー \( u \) は (1)と表される。
ここで，\(\sigma = 0\) のとき, u の単位時間当たりの変化量 \(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}\) は, 単位面積当たりのエネルギーの流れ \(\vec{S}\) を用いて \(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \) (2)と表される。\(\vec{S}\) はポインティングベクトルと呼ばれ，\(\vec{S} = \)(3) と表される。\(\vec{E}\) 及び \(\vec{H}\) が直交座標系\( (x, y, z) \)において, それぞれ \(\vec{E} = (E_x, 0, 0)\), \(\vec{H} = (0, H_y, 0)\) と表されるとき, \(\vec{S}\) は (4) 軸と平行である。
また，\(\sigma \neq 0\) のときは，\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \) (2)\( - \) (5)と表される。
| (ｲ) | \(\vec{E}\cdot\vec{H}\) | (ﾛ) | \(\vec{H}\times\vec{E}\) | (ﾊ)(5) | \(\sigma|\vec{E}|^2\) |
| (ﾆ)(2) | \(-\nabla\cdot\vec{S}\) | (ﾎ)(3) | \(\vec{E}\times\vec{H}\) | (ﾍ) | \(x\) |
| (ﾄ) | \(\sigma\vec{E}\cdot\vec{H}\) | (ﾁ) | \(\nabla\cdot\vec{S}\) | (ﾘ) | \(\displaystyle \frac{1}{2}\sigma|\vec{E}|^2 + \frac{1}{2}\mu|\vec{H}|^2\) |
| (ﾇ)(1) | \(\displaystyle \frac{1}{2}\varepsilon|\vec{E}|^2 + \frac{1}{2}\mu|\vec{H}|^2\) | (ﾙ) | \(\displaystyle \frac{1}{2}\vec{E}\cdot\vec{H}\) | (ｦ) | \(y\) |
| (ﾜ) | \(\nabla\times\vec{S}\) | (ｶ) | \(\sigma|\vec{E}|\) | (ﾖ)(4) | \(z\) |
出典:令和5年度第一種電気主任技術者理論科目A問題問2
解説
電験二種ではでない問題です。知識があれば時間を必要としないので、このような問題を早く解けると合格に近づくと思います。
\( V \) 内の単位体積当たりの電磁界エネルギー \( u \)
\(\displaystyle u = \frac{1}{2}\varepsilon|\vec{E}|^2 + \frac{1}{2}\mu|\vec{H}|^2\)
理論的な話は分かりやすいYoutubeのチャンネルがありますので紹介します。(自分は製作者ではありません)
エネルギーの流れ\(\vec{S} \)
とりあえず問題の式を代入します。
\(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{1}{2}\varepsilon|\vec{E}|^{2} + \frac{1}{2}\mu|\vec{H}|^{2} \right) \)
ここから先、参考書だとあたり前のように式変形してますが数学忘れてると?だと思います。少なくとも自分は困りました。マクスウェル方程式の話は豊富なんですが。一種受験者ならそれくらい分かるでしょ的な感じなんでしょうか。なお、試験本番では以下のような計算はする必要がないというか時間が足りなくなるのでしないでください。
ベクトルの絶対値の二乗を内積で表します。
\( |\vec{E}|^{2} = \vec{E}･\vec{E} \)
参考:ベクトルの内積 KIT数学ナビゲーション
同じベクトルなので当然\( \cos\theta = 1\)です。
偏微分の部分を変形します。ベクトルの微分公式を使用します。
\(\displaystyle \frac{\partial}{\partial t} (\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B}) =\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} \cdot \boldsymbol{B} + \boldsymbol{A} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \)
今回の式の場合、\( \boldsymbol{A} = \vec{E} \)、\( \boldsymbol{B} = \vec{E} \)であり、また内積は交換可能なので
\begin{aligned} \displaystyle \frac{\partial }{\partial t}(\vec{E}･\vec{E} ) &= \frac{\partial \vec{E} }{\partial t}\cdot \vec{E} + \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{E} }{\partial t} \\ &=2 \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{E} }{\partial t} \end{aligned}
となります。
以上より、
\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial t} &= \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{1}{2}\varepsilon|\vec{E}|^{2} + \frac{1}{2}\mu|\vec{H}|^{2} \right) \\ &= \varepsilon\vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \mu\vec{H} \cdot \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} \end{aligned}
となります。
マクスウェル方程式を用いて式を変形します。参考:EMANの電磁気学
\begin{aligned} \nabla \times \mathbf{H} &= \mathbf{i} + \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \quad (\mathbf{i} = \sigma \mathbf{E} = \mathbf{0}) \\ \nabla \times \mathbf{E} &= -\mu \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} \end{aligned}
なので、
\begin{aligned} \displaystyle \varepsilon \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \mu \mathbf{H} \cdot \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} &= \mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{H}) - \mathbf{H} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) \\ &= - \nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{H}) \end{aligned}
\(\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) \)の公式を使用。
よって答えは\(-\nabla\cdot\vec{S}\)となります。
ポインティングベクトル
(3)より、
\( \vec{S} = \vec{E} \times \vec{H} \)
ここも分かりやすいYoutubeのチャンネルを紹介します。なお、電験一種合格だけであれば答えだけ暗記でも突破はできます。深いところは問われないので。
\(\vec{S}\)の方向
\(\vec{E}\)と\(\vec{H}\)の外積なので\(z\)軸方向です。
\(\sigma \neq 0\)のとき
\begin{aligned} \nabla \times \mathbf{H} &= \sigma \mathbf{E} + \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \\ \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} &= \nabla \times \mathbf{H} - \sigma \mathbf{E} \end{aligned}
より、
\begin{aligned} \varepsilon \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \mu \mathbf{H} \cdot \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} &= \mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{H}) - \sigma |\mathbf{E}|^2 - \mathbf{H} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) \\ &= - \nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{H}) - \sigma |\mathbf{E}|^2 \end{aligned}
よって\(\sigma |\vec{E}|^2\)です。