misobonのサイト

解説

A問題の過渡現象よりは難しいですが、それでも過渡現象は計算パターンが決まっているので点を取りたいところです。

\(t\geqq0\) で静電容量 \(C\) を流れる電流 \(i(t)\)

下図のように、静電容量\(C\)には\(i_1(t)\)と\(i_2(t)-i_3(t)\)が流れ込みますので

\(\displaystyle i(t)= i_1(t) + i_2(t) - i_3(t)\)

となります。

右辺を\(v(t)\)と\(E\)の式に書き直す

下図の各赤、緑、青の閉回路について考えます。

赤の閉回路

\(E = R i_1(t) + v(t) \)

緑の閉回路

\(v(t) = R i_3(t) \)

青の閉回路

\(E = R i_2(t) + v(t) \)

上式より、\(i_1(t)\)、\(i_2(t)\)、\(i_3(t)\)を求めます。

\begin{aligned} i_1(t) &= \frac{E - v(t)}{R}\\ i_2(t) &= \frac{E - v(t)}{R} \\ i_3(t) &= \frac{v(t)}{R} \\ \end{aligned}

これを\(\displaystyle C \frac{dv(t)}{dt} = i_1(t) + i_2(t) - i_3(t)\)に代入します。

\begin{aligned} \displaystyle C \frac{dv(t)}{dt} &= \frac{E - v(t)}{R} + \frac{E - v(t)}{R} - \frac{v(t)}{R} \\ &= -\frac{3}{R} v(t) + \frac{2E}{R}\\ \end{aligned}

よって答えは\(\displaystyle -\frac{3}{R} v(t) + \frac{2E}{R}\)です。

\( v(t) \)を求める

微分方程式\(\displaystyle C \frac{dv(t)}{dt} = -\frac{3}{R} v(t) + \frac{2E}{R}\)を解きます。

スイッチを閉じる前は静電容量\(C\)は\(E\)で充電されていますので、\(v(0)=E\)です。

まずは\(E=0\)として過渡解\(v_h(t)\)を求めます。

\begin{aligned} C \frac{dv_h(t)}{dt} &= -\frac{3}{R} v_h(t) \\ \frac{dv_h(t)}{v_h(t)} &= -\frac{3}{CR} dt \\ \int \frac{dv_h(t)}{v_h(t)} &= \int -\frac{3}{CR} dt \\ \ln|v_h(t)| &= -\frac{3}{CR} t + K \quad Kは積分定数\\ v_h(t) &= e^{-\frac{3}{CR} t + K} = A e^{-\frac{3}{CR} t} \quad A=e^Kは任意の定数 \\ \end{aligned}

次に定常解\(v_p(t)\)を求めます。

\(\displaystyle \frac{dv(t)}{dt}=0\)として

\begin{aligned} 0 &= -\frac{3}{R}v_p(t) + \frac{2E}{R} \\ v_p(t) &= \frac{2E}{3} \end{aligned}

となります。

一般解は、

\begin{aligned} v(t) &= v_h(t) + v_p(t) \\ &= A e^{-\frac{3}{CR} t} + \frac{2E}{3}\\ \end{aligned}

となります。\(v(0)\)を利用して\(A\)を求めます。

\begin{aligned} E &= A e^{-\frac{3}{CR} (0)} + \frac{2E}{3} \\ E &=A e^{0} + \frac{2E}{3} \\ E &= A + \frac{2E}{3} \\ A &= E - \frac{2E}{3} = \frac{E}{3} \end{aligned}

よって

\begin{aligned} v(t) &= \frac{E}{3} e^{-\frac{3}{CR} t} + \frac{2E}{3} \\ &= \frac{E}{3} e^{-\frac{3}{CR} t} + \frac{2E}{3} (1 - e^{-\frac{3}{CR} t}) + \frac{2E}{3} e^{-\frac{3}{CR} t} \\ &= E e^{-\frac{3}{CR} t} + \frac{2E}{3} (1 - e^{-\frac{3}{CR} t}) \\ \end{aligned}

となります。

なお、\(t=0\)の時\(E\)になるのは(ハ)だけなので、それで答えを選ぶ方が時間的にいいかと思います。

\(i_1(t)\)と\(i_2(t)\)の\(t=0\)での電流値

(2)で\(i_1(t)\)と\(i_2(t)\)の式を求めています。

\begin{aligned} i_1(t) &= \frac{E - v(t)}{R}\\ i_2(t) &= \frac{E - v(t)}{R} \\ \end{aligned}

ここで、\(v(0)=E\)なので、\( i_1(0) = i_2(0) = 0 \)となることが分かります。

静電容量\(C\)の電流\(i(0)\)

(1)で\(i(t)\)の式を求めています。

\(\displaystyle i(t)= i_1(t) + i_2(t) - i_3(t)\)

\( i_1(0) = i_2(0) = 0 \)なので、

\(\displaystyle i(0)= - i_3(0)\)

となります。

\(\displaystyle i_3(t) = \frac{v(t)}{R} \)

であり、\(v(0)=E\)なので、

\(\displaystyle i_3(0) = \frac{E}{R} \)

となるので、

\(\displaystyle i(0)= -\frac{E}{R} \)

となります。

微分を用いても同様の答えが得られます。

\begin{aligned} i(t) &= C\frac{dv(t)}{dt} = -\frac{3E}{R} e^{-\frac{3}{CR} t} + \frac{2E}{R} e^{-\frac{3}{CR} t} = -\frac{E}{R} e^{-\frac{3}{CR} t}\\ i(0) &= -\frac{E}{R} e^{-\frac{3}{CR} (0)} \\ &= -\frac{E}{R} \end{aligned}