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解説

簡単な問題なのでこういう問題で確実に点を取りたいところです。

Δ-Y変換は1回導出した方が理解が深まっていいかと思います。

Δ-Y変換の式

\begin{aligned} \dot{Z}_a = \frac{\dot{Z}_{ca} \dot{Z}_{ab}} {\dot{Z}_{ab} + \dot{Z}_{bc} + \dot{Z}_{ca}} \\ \dot{Z}_b = \frac{\dot{Z}_{ab} \dot{Z}_{bc}}{\dot{Z}_{ab} + \dot{Z}_{bc} + \dot{Z}_{ca}} \\ \dot{Z}_c = \frac{\dot{Z}_{bc} \dot{Z}_{ca}}{\dot{Z}_{ab} + \dot{Z}_{bc} + \dot{Z}_{ca}} \\ \end{aligned}

Y-Δ変換の式(今回の問題では使用しません)

\begin{aligned} \dot{Z}_{ab} = \frac{\dot{Z}_a \dot{Z}_b + \dot{Z}_b \dot{Z}_c + \dot{Z}_c \dot{Z}_a}{\dot{Z}_c} \\ \dot{Z}_{bc} = \frac{\dot{Z}_a \dot{Z}_b + \dot{Z}_b \dot{Z}_c + \dot{Z}_c \dot{Z}_a}{\dot{Z}_a} \\ \dot{Z}_{ca} = \frac{\dot{Z}_a \dot{Z}_b + \dot{Z}_b \dot{Z}_c + \dot{Z}_c \dot{Z}_a}{\dot{Z}_b} \\ \end{aligned}

Δ-Y変換した時の抵抗\(R_b\)

上の公式に従って、青枠の部分をΔ-Y変換します。

よって

\begin{aligned} \displaystyle R_b &= \frac{4 \times 8}{4 + 12 + 8 } \\ &= \frac{4}{3} \end{aligned}

です。

Δ-Y変換した時の抵抗\(R_c\)

同様に抵抗\(R_c\)は

\begin{aligned} \displaystyle R_c = &=\frac{4 \times 12}{4 + 12 + 8} \\ &= \frac{48 }{24 } \\ &= 2 \end{aligned}

です。

Δ-Y変換した時の抵抗\(R_d\)

同様に抵抗\(R_d\)は

\begin{aligned} \displaystyle R_d = &=\frac{8 \times 12}{4 + 12 + 8 } \\ &= \frac{96 }{24 } \\ &= 4 \end{aligned}

です。

電流\(I\)

\(R_b\)、\(R_c\)、\(R_d\)、\(6\Omega\)による合成抵抗をまず求めます。

\begin{aligned} \displaystyle R_{total} &= R_b+ \frac{(R_c + 6) \times R_d}{(R_c + 6) + R_d} \\ &=\frac{4}{3} + \frac{8 \times 4 }{8 + 4 } \\ &= \frac{4}{3} + \frac{8}{3} \\ &= 4 \end{aligned}

となります。

全体の抵抗はこれと\(R_a\)の直列であり、また\(R_a\)は60Wを消費しているとありますので、これより以下が成り立ちます。

\begin{aligned} I &= \frac{32}{R_a + R_{total}} = \frac{32}{R_a + 4}\\ 60 &= R_a I^2 \end{aligned}

\(R_a\)について整理します。

\begin{aligned} R_a &= \frac{32}{I} - 4 \quad \cdots (3) \\ \end{aligned}

これを\( 60 = R_a I^2 \)に代入し、二次方程式を解きます。

\begin{aligned} 60 &= \left( \frac{32}{I} - 4 \right) I^2 \\ 60 &= 32I - 4 I^2 \\ 4 I^2 - 32 I + 60 &= 0 \\ I^2 - 8 I + 15 & = 0 \\ (I - 3)(I - 5) &= 0 \\ \end{aligned}

\(I\)の候補となる値は3Aもしくは5Aであることが分かりました。

2つの候補となる電流値を用いて\(R_a\)を出します。

\begin{aligned} R_a = \frac{32}{3} - 4 = \frac{32 - 12}{3} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \Omega \\ R_a = \frac{32}{5} - 4 = \frac{32 - 20}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \Omega \\ \end{aligned}

\(R_a\)は\(5\Omega\)より小さいので、\(R_a\)は\(2.4 \Omega \)となり、この時電流\(I\)は5Aとなります。

電源側から見た回路全体の合成抵抗

\(R_b\)、\(R_c\)、\(R_d\)、\(6\Omega\)による合成抵抗は\(4 \Omega\)であり、それと\(2.4 \Omega \)の直列であることから\(6.4 \Omega \)です。