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解説

基本的な問題であり暗記の要素が強いかと思われます。

線積分を面積分にする定理

線積分を面積分に変換する公式をストークスの定理といいます。

ストークスの定理については他サイトを参照してもらった方がいいです。参考:ストークスの定理の証明 - EMANの電磁気学

マクスウェル方程式\(\nabla \times \boldsymbol{E} \)

マクスウェル方程式より、

\( \mathrm{rot} \boldsymbol{E} = - \dfrac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \)

よって答えは(ヨ)の\(\displaystyle -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\)です。

マクスウェル方程式については参考書や他サイトを参照してください。自分が書くよりよっぽどいいと思うので。

式変形によりファラデーの法則を得る

\(\displaystyle V = \int_S (\nabla \times \boldsymbol{E}) \cdot \mathbf{n} dS\)に\(\nabla \times \boldsymbol{E} = -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\)を代入します。

\begin{aligned} V &= \int_S (\nabla \times \boldsymbol{E}) \cdot \mathbf{n} dS \\ &= \int_S \left( - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right) \cdot \mathbf{n} dS \\ &= - \frac{\partial }{\partial t}\int_S \mathbf{B} \cdot \mathbf{n} dS\\ \end{aligned}

\(\displaystyle \Phi = \int_S \boldsymbol{B} \cdot \mathbf{n} dS \)であり、また\(\Phi\)は\(\boldsymbol{B}\)と異なり時間\(t\)のみの関数なので、

\begin{aligned} V &= - \frac{d\Phi}{dt} \\ \end{aligned}

となり、ファラデーの法則が導かれました。よって答えは(リ)の\(- \dfrac{d\Phi}{dt}\)です。

補足:\(\boldsymbol{B}\)は位置と時間の関数ですが、\(\Phi\)は\(\boldsymbol{B}\)を積分した結果なので位置の関数ではありません。複数変数がある\(\boldsymbol{B}\)は偏微分になりますが、時間のみの関数である\(\Phi\)の場合は全微分になります。

磁束密度のコイル面法線方向成分

\(\mathbf{n}\)はその面の単位法線ベクトルなので大きさは1です。

問題の図を見ると、\(B_0\)のコイル面に垂直な方向の成分の大きさは\(B_0 \cos \theta \)であることが分かります。

\(\theta = \omega t\)ですから、\(\boldsymbol{B} \cdot \mathbf{n} = B_0 \cos \omega t\)となります。

または、問題文に「コイル面の法線ベクトルはx軸の方向を向いている」とあるので、\( \mathbf{n} = (1, 0, 0) \)であり、また\(\boldsymbol{B} = (B_0 \cos\omega t, B_0 \sin\omega t, 0)\)であることから、内積の定義より

\begin{aligned} \boldsymbol{B} \cdot \mathbf{n} &= (B_0 \cos\omega t \times 1) + (B_0 \sin\omega t \times 0) + (0 \times 0) \\ &= B_0 \cos\omega t \\ \end{aligned}

でも求められるかと思います。いずれにせよ答えは(ハ)です。

正方形状の1ターンコイルに発生する交流起電力の振幅

まず\(\Phi\)を求めます。ここで、面積は正方形なので\(a^2\)です。

\begin{aligned} \Phi &= \int_S \mathbf{B} \cdot \mathbf{n} dS \\ &= \int_S B_0 \cos\omega t dS\\ &= B_0 \cos\omega t \int_S dS\\ &= B_0 \cos\omega t \cdot a^2\\ &= a^2 B_0 \cos\omega t \\ \end{aligned}

交流起電力は、\(\Phi\)を時間で微分したものなので

\begin{aligned} V &= - \frac{d\Phi}{dt} \\ &= - \frac{d}{dt} (a^2 B_0 \cos\omega t) \\ &= -a^2 B_0 \frac{d}{dt} (\cos\omega t)\\ &= a^2 B_0 \omega \sin\omega t \end{aligned}

よって、振幅の大きさは\(a^2 B_0 \omega\)であることが分かります。

与えられた数値を用いて振幅の大きさを計算します。

\begin{aligned} \omega &= \frac{3000 \times 2\pi}{60} \, \text{rad/s}= 100\pi \, \text{rad/s} \\ a^2 B_0 \omega &= (0.1 \, \text{m})^2 \times (1 \, \text{T}) \times (100\pi \, \text{rad/s}) \\ &= \pi \, \text{V}\\ \end{aligned}

解答の中では(ト)の3が最も近い値なので、答えは(ト)です。