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解説

難しい問題のように思えますが、このような問題はほとんどの場合読解で解けるようになっています。

電気力線と等電位線の関係

電気力線と等電位線は直行します。

理由は他サイトで調べてもらった方がいいと思うのでここでは省略します。

\(v=1\)の式で表される等電位線

問題文より、\(z = f(w)\)、\(f(w) = w^2\)、\(w = u + jv\)なので、

\(z = \left( u + jv \right)^2\)であることが分かります。

これに、\(v=1\)を代入すると、

\begin{aligned} z &= \left( u + jv \right)^2 \\ &= \left( u + j1 \right)^2 \\ &= u^2 -1 + j2u \\ \end{aligned}

となります。

これを、\(x + jy \)と係数比較すると\(x = u^2 -1 \)、\(y = 2u \)となることが分かります。

更に\(u\)について整理すると、\(u = \dfrac{y}{2}\)なので、これを\(x\)の式に代入します。

\begin{aligned} x &= u^2 -1 \\ &= \left(\dfrac{y}{2}\right)^2 -1 \\ &= \dfrac{y^2}{4} -1 \\ \end{aligned}

よって答えは(ニ)の\( x = \dfrac{y^2}{4} -1 \)です。

\(u=0\)の時の電気力線

(2)と同様に考えます。\(u=0\)なので、

\begin{aligned} z &= \left( u + jv \right)^2 \\ &= \left( 0 + jv \right)^2 \\ &= -v^2 \\ \end{aligned}

よって、\(x = -v^2 \)、\(y = 0 \)となります。

問題文より、\(v \geqq 0\)であり、\(v^2\)は0か正の値になることから、\(-v^2 \leqq 0\)となることが分かります。

よって答えは(リ)の\(y = 0, x \leqq 0\)です。

\(u=1\)の時の電気力線

同様に考えて

\begin{aligned} z &= \left( u + jv \right)^2 \\ &= \left( 1 + jv \right)^2 \\ &= -v^2 + 1 + j2v \\ \end{aligned}

なので、\(x = -v^2 + 1 \)、\(y = 2v \)となります。

\(v\)について整理すると、\(v = \dfrac{y}{2} \)となるので、これを\(x\)の式に代入すると

\begin{aligned} x &= -v^2 + 1 \\ &= 1 - \left(\dfrac{y}{2}\right)^2 \\ &= 1 - \dfrac{y^2}{4} \\ \end{aligned}

となります。\(v \geqq 0\)であることから、\(y \geqq 0\)となるので、

答えは(ホ)の\(x = 1 - \displaystyle \frac{y^2}{4}, y \geqq 0\)となります。

\(z\)上に写像された電気力線と等電位線

問題の図より、\(u = 1\)の時の\(x\)と\(y\)について考えます。

(4)より、\(u = 1\)のとき、\(x = 1 - \displaystyle \frac{y^2}{4}, y \geqq 0\)

\(x = 0 \)とすると、

\begin{aligned} x &= 1 - \displaystyle \frac{y^2}{4} \\ 0 &= 1 - \displaystyle \frac{y^2}{4} \\ y &= \pm 2 \\ \end{aligned}

\(y = 0 \)とすると、

\begin{aligned} x &= 1 - \displaystyle \frac{y^2}{4} \\ &= 1 - \displaystyle \frac{0^2}{4} \\ &= 1 \end{aligned}

よって、\(\left(0,j2\right)\)、\(\left(0,-j2\right)\)、\(\left(1,0\right)\)を通る電気力線が存在することが分かります。

これを満たすのは(ワ)しかありません。よって答えは(ワ)となります。