電験一種 R2年 理論 問6
次の文章は、真空中の電子電流に関する記述である。文中の(0)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。
真空中で金属を加熱すると、熱エネルギーを得た電子が真空中に飛び出してくる熱電子放出を生じる。図は、電極Aから均一に熱電子が放出され、直流電圧\(V_0(>0)\)によって、電極Aから距離\(L\)の位置にある電極Bに引き寄せられ、時間的に一定の電流密度\(J\)が流れている様子を表している。図中の\(x\)座標上の位置\(x\)における電子の平均速度を\(v(x)\)、電荷密度を\(\rho(x)\)とし、電位を\(V(x)\)とする。ただし、\(V(0) = 0\), \(V(L) = V_0\)と定める。簡単のため、電子の速度は\(x\)成分のみを持つものとし、また、電荷密度、電位は共に\(x\)軸に垂直な面内で一様であるものと仮定する。電極は十分広く、端部効果は無視するものとする。この時、位置\(x\)における電流密度\(J\)は、電子の速度\(v(x)\)と電荷密度\(\rho(x)\)を用いて、次のように表される。
\(J = \)(1) …①
また、\(V(x)\)と\(\rho(x)\)の関係は、ポアソン方程式より以下の様に表される。
\(\dfrac{d^2V(x)}{dx^2} = -\dfrac{\rho(x)}{\varepsilon_0}\) …②
ただし、\(\varepsilon_0\)は真空の誘電率である。位置\(x\)における電子の運動エネルギーは、電子の質量\(m\)及び速度\(v(x)\)を用いて(2)と表される。放出直後の速度を\(v(0) = 0\)と近似すると、力学的エネルギー保存則より、
(2) \(= eV(x)\) …③
が成り立つ。ただし、\(e\)は電気素量を表す。①～③式より\(v(x)\)と\(\rho(x)\)を消去すると、電流密度の大きさ\(|J|\)と、電位\(V(x)\)の関係は、次式で表される。
\(|J| = \)(3) \(\sqrt{V(x)} \left| \dfrac{d^2V(x)}{dx^2} \right|\) …④
定常状態では、\(J\)は位置\(x\)によらず一定でなければならない (電流連続)。また、放出される電子の数が増加すると、電極Aの近傍が負に帯電するため、\(x=0\)における電界\(\dfrac{dV(x)}{dx}\)が0に近づくことで電子放出が制限される。これらの条件を満たす電位分布は、\(\alpha\), \(\beta\)を正の実定数として、\(V(x) = \alpha x^\beta\)のように表され、④式が\(x\)によらない条件として\(x\)の指数部を零とすると、\(\beta = \)(4)と求められる。また、\(V(L) = \alpha L^\beta = V_0\)から\(\alpha\)が求まり、電流密度の大きさと印加電圧との関係として、\(|J| \propto V_0^\gamma\), \(\gamma = \)(5)が導かれる。この関係は、熱電子放出電流を外部印加電圧により制御する基本原理となっている。
| (ｲ) | \(\displaystyle \frac{1}{2}\) | (ﾛ) | \(mv(x)\) | (ﾊ) | \(\displaystyle \frac{1}{2} \rho(x) v(x)^2\) | (ﾆ)(3) | \(\varepsilon_0 \sqrt{\displaystyle \frac{2e}{m}}\) |
| (ﾎ) | \(\displaystyle \frac{2}{3}\) | (ﾍ) | \(\displaystyle \frac{5}{3}\) | (ﾄ) | \(2\) | (ﾁ)(2) | \(\displaystyle \frac{1}{2} mv(x)^2\) |
| (ﾘ)(1) | \(\rho(x) v(x)\) | (ﾇ) | \(\varepsilon_0 \sqrt{\displaystyle \frac{2m}{e}}\) | (ﾙ)(4) | \(\displaystyle \frac{4}{3}\) | (ｦ) | \(\displaystyle \frac{1}{2} m^2 v(x)\) |
| (ﾜ)(5) | \(\displaystyle \frac{3}{2}\) | (ｶ) | \(\displaystyle \frac{1}{2} \rho(x) v(x)\) | (ﾖ) | \(\sqrt{\displaystyle \frac{2\varepsilon_0}{m}}\) |
出典:令和2年度第一種電気主任技術者理論科目B問題問6
解説
電験一種受験者でもこのような内容を明確に理解している人は少ないと思います。冷静になり誘導に従えば解けるようにはなっているので、そこを目指せればいいかなと思います。
位置\(x\)における電流密度\(J\)
単位から考えるのが楽だと思われます。
電子の速度\(v(x)\)の単位は\(\left[ \dfrac{m}{s} \right] \)、電荷密度\(\rho(x)\)の単位は\(\left[ \dfrac{C}{m^3} \right] \)なので、これらの積は\(\left[ \dfrac{C}{m^2 \cdot s} \right] \)となり、電流密度の単位と同じになります。
この場合(リ)の\(\rho(x) v(x)\)か(カ)の\(\displaystyle \frac{1}{2} \rho(x) v(x)\)が答えとして考えられますが、積分が出てこないので(リ)の\(\rho(x) v(x)\)が正解と予想できるかと思います。
位置\(x\)における電子の運動エネルギー
運動エネルギーについての基本的な内容です。(チ)の\(\displaystyle \frac{1}{2} mv(x)^2\)が答えです。
\(v(x)\)と\(\rho(x)\)を消去したときの、電流密度の大きさ\(|J|\)と、電位\(V(x)\)の関係
与えられた式より順に考えていきます。\(J =\rho(x) v(x) \)なので、\( \rho(x) \)と\( v(x) \)を求めます。
\( \rho(x) \)は②式より
\begin{aligned} \frac{d^2 V(x)}{dx^2} &= - \frac{\rho(x)}{\varepsilon_0} \\ \rho(x) &= -\varepsilon_0 \frac{d^2 V(x)}{dx^2} \\ \end{aligned}
\( v(x) \)は③式より
\begin{aligned} \frac{1}{2} m v(x)^2 &= e V(x) \\ v(x)^2 &= \frac{2 e V(x)}{m} \\ v(x) &= \sqrt{\frac{2 e V(x)}{m}} \end{aligned}
よって、電流密度の大きさ\(|J|\)は
\begin{aligned} J &= \rho(x) v(x) \\ &= -\varepsilon_0 \frac{d^2 V(x)}{dx^2} \cdot \sqrt{\frac{2eV(x)}{m}} \\ &= -\varepsilon_0 \sqrt{\frac{2e}{m}} \sqrt{V(x)} \frac{d^2 V(x)}{dx^2}\\ |J| &= \varepsilon_0 \sqrt{\frac{2e}{m}} \sqrt{V(x)} \left|\frac{d^2 V(x)}{dx^2} \right| \end{aligned}
よって答えは(ニ)の\(\varepsilon_0 \sqrt{\displaystyle \frac{2e}{m}}\)です。
なお、題意より\(V(x) \geqq 0 \)であり、電気素量も正なので、正負どちらもとりうる二階微分の部分のみ絶対値表記となります。
\(V(x) = \alpha x^\beta\)と表した時の\(\beta\)
(3)で求めた式に\(V(x) = \alpha x^\beta\)を代入して計算します。
\begin{aligned} |J| &= \varepsilon_0 \sqrt{\frac{2e}{m}} \sqrt{V(x)} \left|\frac{d^2 V(x)}{dx^2} \right| \\ &= \varepsilon_0 \sqrt{\frac{2e}{m}} \sqrt{\alpha x^\beta} \left| \frac{d^2}{dx^2} (\alpha x^\beta) \right| \\ &= \varepsilon_0 \sqrt{\frac{2e}{m}} \sqrt{\alpha x^\beta} \cdot \left| \alpha \beta (\beta - 1) x^{\beta - 2} \right| \\ &= \varepsilon_0 \sqrt{\frac{2e}{m}} \sqrt{\alpha} x^{\frac{\beta}{2}} \cdot \left| \alpha \beta (\beta - 1) x^{\beta - 2} \right| \\ &= \varepsilon_0 \sqrt{\frac{2e}{m}} \alpha ^{\frac{3}{2}}\beta (\beta - 1)x^{\frac{3\beta}{2} - 2} \quad ( \alpha 、 \beta は正の実定数 )\\ \end{aligned}
なお、二階微分の計算過程は以下となります。
\begin{aligned} \frac{dV(x)}{dx} &= \frac{d}{dx} (ax^\beta) = a \beta x^{\beta - 1} \\ \frac{d^2 V(x)}{dx^2} &= \frac{d}{dx} (a \beta x^{\beta - 1}) = a \beta (\beta - 1) x^{\beta - 2} \\ \end{aligned}
ここで、\(x\)の指数部が零となる条件は
\begin{aligned} \frac{3\beta}{2} - 2 &= 0 \\ \beta &= \frac{4}{3} \\ \end{aligned}
よって答えは(ル)の\(\displaystyle \frac{4}{3}\)です。
\(|J| \propto V_0^\gamma\)としたときの\(\gamma \)
与えられた式より\(\alpha\)を求めます。
\begin{aligned} V(L) &= \alpha L^\beta = V_0 \\ \alpha &= \frac{V_0}{L^\beta} \\ &= V_0 L^{-\frac{4}{3}} \end{aligned}
\(\alpha\)と\(\beta\)を(4)の\(|J|\)に代入します。
\begin{aligned} |J| &= \varepsilon_0 \sqrt{\frac{2e}{m}} \alpha ^{\frac{3}{2}}\beta (\beta - 1)x^{\frac{3\beta}{2} - 2} \\ &= \varepsilon_0 \sqrt{\frac{2e}{m}} \alpha^{\frac{3}{2}} \times \left(\frac{4}{3}\right) \times \left(\frac{4}{3} - 1\right) \times x^{\frac{3 \cdot \frac{4}{3}}{2} - 2} \\ &= \varepsilon_0 \sqrt{\frac{2e}{m}} \alpha^{\frac{3}{2}} \times \left(\frac{4}{3}\right) \times \left(\frac{1}{3}\right) \times x^{0} \\ &= \frac{4}{9} \varepsilon_0 \sqrt{\frac{2e}{m}} \alpha^{\frac{3}{2}} \\ &= \frac{4}{9} \varepsilon_0 \sqrt{\frac{2e}{m}} \left(V_0 L^{-\frac{4}{3}}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &= \frac{4}{9} \varepsilon_0 \sqrt{\frac{2e}{m}} V_0^{\frac{3}{2}} L^{-2} \\ |J| &\propto V_0^{\frac{3}{2}} \end{aligned}
よって答えは(ワ)の\(\displaystyle \frac{3}{2}\)です。
- (1)リ \(\rho(x) v(x)\)
- (2)チ \(\displaystyle \frac{1}{2} mv(x)^2\)
- (3)ニ \(\varepsilon_0 \sqrt{\displaystyle \frac{2e}{m}}\)
- (4)ル \(\displaystyle \frac{4}{3}\)
- (5)ワ \(\displaystyle \frac{3}{2}\)