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解説

電磁気の基本的な問題です。

ソレノイド内部の磁束密度の大きさ\(B\)

下図のように閉経路を考えます。

題意より、ソレノイドの外部では磁束密度は0なのでA→Bの経路の磁束密度は0です。

B→CとD→Aは軸に垂直で積分に寄与しません。

ソレノイド内部の磁界の強さを\(H\)とすると、アンペアの周回積分の法則により、\(NI = Hb \)が成立します。よって、\( H = \dfrac{NI}{b} \)であり、これより

\begin{aligned} B &= \mu _0 H \\ &= \dfrac{\mu _0 NI}{b} \\ \end{aligned}

となりますので、答えは(ハ)の\(\displaystyle \frac{\mu_0 NI}{b}\)です。

ソレノイドのインダクタンス\(L \)

\(N\Phi = LI\)より\(L\)を求めます。ここで\(\Phi \)は磁束です。

ソレノイドの断面積を\(S\)とすると、\(BS = \Phi \)であり、\(S = \pi a^2\)なので、

\begin{aligned} LI &= N \Phi \\ &= N B S \\ &= \frac{\mu_0 \pi a^2 N^2 I}{b} \\ L &= \frac{\mu_0 \pi a^2 N^2 }{b} \\ \end{aligned}

よって答えは(ル)の\(\displaystyle \frac{\mu_0 \pi a^2 N^2}{b}\)です。

ソレノイド内部に蓄積された磁界のエネルギー\(W \)

インダクタンスに蓄積されるエネルギーは\( W = \dfrac{1}{2} LI^2 \)なので

\begin{aligned} W &= \dfrac{1}{2} LI^2 \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \frac{\mu_0 \pi a^2 N^2}{b} \cdot I^2 \\ &= \frac{\mu_0 \pi a^2 N^2 I^2}{2b} \\ \end{aligned}

となり、答えは(ヘ)です。

ソレノイドの軸方向に働く力\(F\)

問題にある通り磁界のエネルギーを長さbで偏微分します。

\begin{aligned} F &= \frac{\partial W}{\partial b} \\ &= \frac{\mu_0 \pi a^2 N^2 I^2}{2} \frac{\partial}{\partial b} \left( \frac{1}{b} \right) \\ & = - \frac{\mu_0 \pi a^2 N^2 I^2}{2b^2} \\ & = - \left( \dfrac{\mu_0 N I}{b} \right)^2 \cdot \frac{ \pi a^2 }{2\mu_0} \\ & = - \frac{B^2}{2\mu_0} \times \left( - \pi a^2 \right) \\ \end{aligned}

よって答えは(カ)の\(-\pi a^2\)です。

ソレノイドに働く力の方向

力の方向は長さ\(b\)に対して負の方向に働くのでソレノイドの長さを縮める方向に働きます。

同じ方向に流れる平行電流は引き合うというのは三種でやっていると思いますが、ソレノイドの形から同じ方向の電流が並んでいる(=引き合う)と解釈してもいいかと思います。