misobonのサイト

解説

行列式にさえ慣れていれば特段難しい問題ではないかと思います。

閉路方程式の行列

各閉路の電圧方程式を立てます。

抵抗\(R\)に、\(I_R = I_1 + I_2\) が流れることを考慮すると、左の閉路は

\begin{aligned} E_1 &= 2I_1 + RI_1 + RI_2 \\ &= (2+R)I_1 + RI_2 \\ \end{aligned}

となります。また、右の閉路は

\begin{aligned} E_2 &=I_2 + RI_1 + RI_2 \\ &= RI_1 + (1+R)I_2 \\ \end{aligned}

となります。これらを行列式で表現すると

\begin{aligned} \begin{bmatrix} E_1 \\ E_2 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2+R & R \\ R & 1+R \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \end{bmatrix} \\ \end{aligned}

となりますので、答えは(ヘ)の\(\begin{bmatrix} 2+R & R \\ R & 1+R \end{bmatrix}\)です。

\(I_2\)の値

(1)で求めた式に\(E_1=12\)と(a)の条件である\(I_1=0\)と\(E_2=15\)を代入します。

\begin{aligned} E_1 &= (2+R)I_1 + RI_2 \\ E_2 &= RI_1 + (1+R)I_2 \\ 12 &= RI_2 \\ 15 &= (1+R)I_2 \\ \end{aligned}

上記の式より\(R\)を消去します。\(R = \dfrac{12}{I_2}\)なので

\begin{aligned} 15 &= \left(1 + \dfrac{12}{I_2}\right)I_2 \\ 15 &= I_2 + 12 \\ I_2 &= 3 \\ \end{aligned}

よって答えは(ワ)の\(3\)です。

未知抵抗\(R\)の値

(2)で\(I_2\)が3Aと分かっていますので、\(R = \dfrac{12}{I_2}\)より\(R\)は4Ωです。

よって答えは(ト)の\(4\)です。

(b)のときの電流\(I_1\)、\(I_2\)

\(E_1=12\)、\(E_1=8\)、(3)で求めた\(R=4\)を行列式に代入します。

\begin{aligned} \begin{bmatrix} E_1 \\ E_2 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2+R & R \\ R & 1+R \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 12 \\ 8 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 6 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \end{bmatrix} \\ \end{aligned}

よって、以下が成り立ちます。

\begin{aligned} 12 &= 6I_1 + 4I_2 \\ 8 &= 4I_1 + 5I_2 \\ \end{aligned}

この連立方程式を解けばいいのですが、\(P\)を無視していいのか気になるので念のためそちらも計算します。

この回路は抵抗のみなので消費電力は電圧と電流のみで分かります。

\begin{aligned} P &= E_1 I_1 + E_2 I_2 \\ 24 &= 12I_1 + 8I_2 \\ 12 &= 6I_1 + 4I_2 \\ \end{aligned}

\(E_1\)の式と同じ形になりました。連立方程式を解くだけでいいことが分かったので、連立方程式を解きます。

\begin{aligned} 24 &= 12I_1 + 8I_2 \\ 24 &= 12I_1 + 15I_2 \\ 0 &= -7I_2 \\ \end{aligned}

\(I_2=0\)が分かりましたので、これを使用して\(I_1\)を求めると\(I_1=2\)となります。

よって答えは(ル)の\(\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix}\)です。

(c)のときの\(E_2\)

この場合の行列式は以下のようになります。

\begin{aligned} \begin{bmatrix} 12 \\ E_2 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 6 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \end{bmatrix} \\ \end{aligned}

また、条件より\(I_1 + I_2=1 \)です。

これらを用いて\(E_1\)を求めます。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 12 &= 6I_1 + 4I_2 \\ E_2 &= 4I_1 + 5I_2 \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 12 &= 6(1-I_2) + 4I_2 \\ E_2 &= 4(1-I_2) + 5I_2 \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 12 &= 6 - 2I_2 \\ E_2 &= 4 + 1I_2 \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 12 &= 6 - 2I_2 \\ 2E_2 &= 8 + 2I_2 \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} \begin{aligned} 2E_2 + 12 &= 14 \\ E_2 &= 1 \\ \end{aligned}

よって答えは(リ)の\(1\)です。