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解説

出題されやすい形式の問題のためよく理解しておく必要があると思います。基本的には誘導に従えば解けます。

ニュートンの運動方程式から得られる微分方程式

電極間の電界\(E\)は一様とみなせると問題文にあるため電界の大きさは、

\[E = \dfrac{V}{d}\]

です。

電子が電界\(E\)から受ける力\(F\)は、

\begin{aligned} F &= e E \\ &= e \dfrac{V}{d}\\ \end{aligned}

で表されます。

また、電子の質量を\(m_0\)、加速度を\(a = \dfrac{d^2x}{dt^2}\) とすると、ニュートンの運動方程式は

\begin{aligned} F &= m_0a \\ &= m_0\dfrac{d^2x}{dt^2}\\ \end{aligned}

で表されます。

これらの力\(F\)は等しいため、等式を立て整理すると

\begin{aligned} m_0\dfrac{d^2x}{dt^2} &= \dfrac{eV}{d} \\ \dfrac{d^2x}{dt^2} &= \dfrac{eV}{m_0d}\\ \end{aligned}

よって答えは(ニ)の\(\displaystyle \frac{eV}{m_0d}\)です。

電子の速度\(v\)

\(v = \dfrac{dx}{dt}\)であることから、(1)の答えを時間\(t\)で積分して\(v\)を求めます。

\begin{aligned} \int \left( \dfrac{d^2x}{dt^2} \right) dt &= \int \dfrac{eV}{m_0d} dt \\ \dfrac{dx}{dt} &= \dfrac{eV}{m_0d} t + C \quad (Cは積分定数)\\ \end{aligned}

問題文より、時刻\(t=0\)において\(x=0\)なので、この時電子の速度\(v\)は\(0\)であることが分かります。

そのため積分定数\(C=0\)です。よって

\begin{aligned} v &= \dfrac{dx}{dt} \\ &= \dfrac{eV}{m_0d} t \\ \end{aligned}

となり、答えは(ル)の\(\displaystyle \frac{eV}{m_0d}t\)です。

位置\(x\)の関数として表した速度\(v\)

速度を時間で積分すると距離になるので、(2)の答えを\(t\)で積分します。

\begin{aligned} x &= \int v dt \\ &= \int \dfrac{eV}{m_0d}t dt \\ &= \dfrac{1}{2}\dfrac{eV}{m_0d}t^2 + C_1 \quad (C_1は積分定数) \\ \end{aligned}

\(t=0\)のとき、\(x=0\)なので、積分定数\(C_1\)は0です。よって\(x = \dfrac{1}{2}\dfrac{eV}{m_0d}t^2 \)となります。

これを\(t\)について整理しますと、

\begin{aligned} x &= \dfrac{1}{2}\dfrac{eV}{m_0d}t^2 \\ t^2 &= \dfrac{2m_0d}{eV}x \\ t &= \sqrt{\dfrac{2m_0d}{eV}x} \\ \end{aligned}

となります。これを\(v\)の式に代入します。

\begin{aligned} v &= \dfrac{eV}{m_0d} t \\ &= \dfrac{eV}{m_0d} \cdot \sqrt{\dfrac{2m_0d}{eV}x}\\ &= \sqrt{\dfrac{2eV}{m_0d}x}\\ \end{aligned}

よって答えは(ワ)の\(\displaystyle \sqrt{\frac{2eV}{m_0d}x}\)です。

微小時間\(\Delta t\)の間に電界から得るエネルギー

電子が電界から得るエネルギーは、電界が電子にする仕事に等しく、「力 × 移動距離」です

(1)より、電子が電界から受ける力\(F\)の大きさは、\(\dfrac{eV}{d}\)です。

また、電子が速度\(v\)で運動しているとき、微小時間\(\Delta t\)の間に移動する距離\(\Delta x\)は、\(\Delta x = v \Delta t\)です。

電子が電界から得るエネルギー\(\Delta W\)は、力\(F\)と移動距離\(\Delta x\)の積で表されます。よって、

\begin{aligned} \Delta W &= F \cdot \Delta x \\ &= \left(\dfrac{eV}{d}\right) \cdot (v \Delta t) \\ &= \dfrac{eV}{d}v\Delta t \\ \end{aligned}

となり、答えは(チ)の\(\displaystyle \frac{eV}{d}v\Delta t\)です。

電流\(I\)を\(d\)、\(v\)等で表す

電圧\(V\)の直流電源から微小時間\(\Delta t\)の間に電流\(I\)が流れ出ることにより供給されるエネルギーは、\(P \Delta t = V I \Delta t\)です。

また、(4)で、電子が電界から得るエネルギーは、\(\Delta W = \dfrac{eV}{d}v\Delta t\)でした。

これらのエネルギーは等しいので、

\begin{aligned} P \Delta t &= \Delta W \\ V I \Delta t &= \dfrac{eV}{d}v\Delta t \\ \end{aligned}

この式から電流\(I\)について解きます。

\begin{aligned} V I \Delta t &= \dfrac{eV}{d}v\Delta t \\ V I &= \dfrac{eV}{d}v \\ I &= \dfrac{e}{d}v \\ \end{aligned}

よって、答えは(ト)の\(\displaystyle \frac{e}{d}v\)です。