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解説

Y-Δ変換するよりそのまま計算した方が個人的には楽かと思ってます。好みの問題ですが。

ここではそのまま解きます。

線電流\(\dot{I_a}\)

画像のような閉回路を3つ考えます。また、\(\dot{I_a} + \dot{I_b} + \dot{I_c} = 0\)です。

以下が成り立ちます。

\begin{aligned} \dot{E}_{ab} &= -j4\dot{I}_a - 16\dot{I}_b \\ a^2\dot{E}_{ab} &= 16\dot{I}_b - 8\dot{I}_c \\ a\dot{E}_{ab} &= 8\dot{I}_c - (-j4\dot{I}_a) \\ 0 &= \dot{I_a} + \dot{I_b} + \dot{I_c} \\ \end{aligned}

これを整理して\(\dot{I_a}\)、\( \dot{I_b} \)、\( \dot{I_c}\)を求めていきます。\(\dot{E}_{ab} = 100\)なので、

\begin{aligned} 100 &= -j4\dot{I}_a - 16\dot{I}_b \\ 100a^2 &= 16\dot{I}_b - 8\dot{I}_c \\ 100a &= 8\dot{I}_c + j4\dot{I}_a \\ 0 &= \dot{I_a} + \dot{I_b} + \dot{I_c} \\ \end{aligned}

\( \dot{I_c} = -\dot{I_a} - \dot{I_b} \)を用いて2番目の式より\(I_c\)を消去します。

\begin{aligned} 100a^2 &= 16\dot{I}_b - 8(-\dot{I}_a - \dot{I}_b)\\ &= 16\dot{I}_b + 8\dot{I}_a + 8\dot{I}_b\\ &= 8\dot{I}_a + 24\dot{I}_b \\ \end{aligned}

連立方程式を解いて\(\dot{I_a}\)を求めます。

\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} 100 &= -j4\dot{I}_a - 16\dot{I}_b\\ 100a^2 &= 8\dot{I}_a + 24\dot{I}_b\\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} 300 &= -j12\dot{I}_a - 48\dot{I}_b \\ 200a^2 &= 16\dot{I}_a + 48\dot{I}_b \\ \end{array} \right. \\ \end{aligned}

\(\dot{I_b}\)を消去すると

\begin{aligned} 300 + 200a^2 &= (16 - j12)\dot{I}_a \\ 100(3 + 2a^2) &= 4(4 - j3 ) \dot{I}_a \\ 25(3 + 2a^2) &= (4 - j3 ) \dot{I}_a \\ 25(3 + 2a^2)(4 + j3 ) &= (4 - j3 )(4 + j3 ) \dot{I}_a \\ 25(3 + 2a^2)(4 + j3 ) &= 25 \dot{I}_a \\ (3 + 2a^2)(4 + j3 ) &= \dot{I}_a \\ \end{aligned}

\(\dot{I}_a\)からベクトルオペレータを消去すると

\begin{aligned} \dot{I}_a &= (3 + 2a^2)(4 + j3 ) \\ &= (3 - 1 - j\sqrt{3})(4 + j3 ) \\ &= (2 - j\sqrt{3})(4 + j3 ) \\ &= 8 + j6 - j4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} \\ &= (8 + 3\sqrt{3}) + j(6 - 4\sqrt{3}) \\ &\fallingdotseq 13.196 - j0.928 \\ \end{aligned}

よって答えは(ヘ)の\(13.20 - j0.93\)です。

線電流\(\dot{I_b}\)

\( 100 = -j4\dot{I}_a - 16\dot{I}_b \)に(1)で求めた\(\dot{I_a}\)を代入して\(\dot{I_b}\)を求めます。

\begin{aligned} 100 &= -j4\dot{I}_a - 16\dot{I}_b \\ 25 &= -j\dot{I}_a - 4\dot{I}_b \\ 25 &= -j\left\{ (8 + 3\sqrt{3}) + j(6 - 4\sqrt{3})\right\} - 4\dot{I}_b \\ 25 &= 6 - 4\sqrt{3} -j(8 + 3\sqrt{3}) - 4\dot{I}_b \\ 4\dot{I}_b &= 6 -25 -4\sqrt{3} -j(8 + 3\sqrt{3}) \\ \dot{I}_b &= \frac{-19 - 4\sqrt{3}}{4} - j\frac{8 + 3\sqrt{3}}{4} \\ &\fallingdotseq -6.482 - j3.299 \\ \end{aligned}

よって答えは(リ)の\(-6.48 - j3.30\)です。

線電流\(\dot{I_c}\)

\( \dot{I_c} = -\dot{I_a} - \dot{I_b} \)で求めるのが楽でしょう。ただ、過去問を解く際は練習のために\(a\dot{E}_{ab}\)の式から求めてもいいかと思います。

\begin{aligned} \dot{I_c} &= -\dot{I_a} - \dot{I_b} \\ &\fallingdotseq -(13.196 - j0.928) - (-6.482 - j3.299 ) \\ &\fallingdotseq -6.714 + j4.227 \\ \end{aligned}

よって答えは(ニ)の\(-6.71 + j4.23\)です。

負荷で消費される電力

負荷で消費される電力\(P\)は、16Ωと8Ωの抵抗で消費される電力になるため

\begin{aligned} P &= 16|\dot{I}_b|^2 + 8|\dot{I}_c|^2 \\ &= 16 \left\{ (-6.482)^2 + (-3.299)^2 \right\} + 8 \left\{ (-6.714)^2 + (4.227)^2 \right\} \\ &= 16 \times 52.899725 + 8 \times 62.945425 \\ &= 1349.959 \end{aligned}

よって答えは(ヌ)の\(1350\)です。

誘導性リアクタンスが並列に接続された時の線電流\(\dot{I_a}\)

この場合、(1)で求めた電流(\(\dot{I_{a0}}\)とする)に\(\dot{I_{a}'} = \dfrac{\dot{E_{ab}}}{j12}\)が加えられた形となるので、

\begin{aligned} \dot{I_a} &= \dot{I_{a0}} + \dot{I_{a}'}\\ &\fallingdotseq 13.196 - j0.928 + \dfrac{100}{j12} \\ &\fallingdotseq 13.196 - j9.261 \\ \end{aligned}

よって答えは(ホ)の\(13.20 - j9.26\)です。