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解説

基本的な問題にあたるかと思います。

誘電体1の内部の電界の大きさ

問題文にある通り、電界は径方向のみに発生するため、側面のみ考えればいいことになります。

よって、ガウスの法則より、誘電体1の範囲(\(a \lt r \lt 2a\))の電界は

\begin{aligned} \int_S \mathbf{E}_1 \cdot d\mathbf{S} &= 2\pi rLE_1 \\ &= \frac{Q}{\varepsilon} \\ \end{aligned} \begin{aligned} E_1 = \frac{Q}{2\pi \varepsilon L} \frac{1}{r} \\ \end{aligned}

となります。よって答えは(ル)の\(\displaystyle \frac{Q}{2\pi \varepsilon L} \frac{1}{r}\)です。

誘電体2の内部の電界の大きさ

(1)と同様に考えると、誘電体2の範囲(\(2a \lt r \lt 4a\))の電界は、誘電率の違いを考慮すると

\begin{aligned} \int_S \mathbf{E}_2 \cdot d\mathbf{S} &= 2\pi rLE_2 \\ &= \frac{Q}{0.2\varepsilon} \\ \end{aligned} \begin{aligned} E_2 = \frac{5Q}{2\pi \varepsilon L} \frac{1}{r} \\ \end{aligned}

となります。よって答えは(ワ)の\(\displaystyle \frac{5Q}{2\pi \varepsilon L} \frac{1}{r}\)です。

電界の大きさが最大になるところ

電界は半径\(r\)に反比例しているので、電界が最大になるところは誘電体1の最も内側か誘電体2の最も内側のどちらかしかありえません。

どちらが大きいか\(r=a\)と\(r=2a\)を代入して計算してみます。

\begin{aligned} E_1 &= \frac{Q}{2\pi \varepsilon L} \frac{1}{r} \\ &= \frac{Q}{2\pi \varepsilon L} \frac{1}{a} \\ E_2 &= \frac{5Q}{2\pi \varepsilon L} \frac{1}{r} \\ &= \frac{5Q}{2\pi \varepsilon L} \frac{1}{2a} \\ \end{aligned}

\(E_2 \gt E_1 \)なので誘電体2の最も内側が電界の大きさが最大となります。

よって答えは(ニ)の誘電体1と誘電体2の境界となります。

誘電体1の内側境界に対する外側境界の電位\(V_1\)

問題に式が与えられていますのでそのまま計算します。

\begin{aligned} V_1 &= -\int_a^{2a} E_1 dr \\ &= -\frac{Q}{2\pi\varepsilon L}\int_a^{2a} \frac{1}{r}dr \\ &= -\frac{Q}{2\pi\varepsilon L} [\ln r]_a^{2a} \\ &= -\frac{Q}{2\pi\varepsilon L} \ln 2 \\ \end{aligned}

よって答えは(ヘ)の\(\displaystyle -\frac{Q}{2\pi \varepsilon L}\ln2\)です。

同軸円筒状の導体及び誘電体全体をコンデンサとみなしたときの容量

問題文に\(V_2 = 5V_1 \)が与えられています。

内側の外側に対する電位は\(V = V_1 + V_2 = 6V_1 = -\dfrac{3Q}{\pi\varepsilon L} \ln 2 \)となりますので、コンデンサの容量は\(Q=CV\)より

\begin{aligned} C &= \left| \frac{Q}{V} \right| \\ &= \dfrac{Q} {\dfrac{3Q}{\pi\varepsilon L} \ln 2 } \\ &= \dfrac{\pi\varepsilon L }{3\ln 2} \\ \end{aligned}

よって答えは(ハ)の\(\displaystyle \frac{\pi\varepsilon L}{3\ln2}\)です。