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解説

冷静に解けば難しい問題ではないですが長文であり限られた時間で解くには慣れが必要かと思います。

アドミタンス\(\dot{Y}_{ab} = \dot{Y}_{ca} \)

問題文にある式\( \dot{I}_a = (\dot{E}_a - \dot{E}_b)\dot{Y}_{ab} + (\dot{E}_a - \dot{E}_c)\dot{Y}_{ca} \)を\(\dot{Y}_{ab}\)について整理します。

ここで、\(\dot{I}_a = -3a\)、\(\dot{Y}_{ab} = \dot{Y}_{ca}\)、\(\dot{E}_b = a^2\dot{E}_a\)、\(\dot{E}_c = a\dot{E}_a\)です。

また、\(a\) はベクトルオペレータで、\(a = e^{j\frac{2}{3}\pi} = -\dfrac{1}{2} + j\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) です。

計算の過程は以下の通りです。

\begin{aligned} \dot{I}_a &= (\dot{E}_a - \dot{E}_b)\dot{Y}_{ab} + (\dot{E}_a - \dot{E}_c)\dot{Y}_{ca} \\ &= (\dot{E}_a - \dot{E}_b)\dot{Y}_{ab} + (\dot{E}_a - \dot{E}_c)\dot{Y}_{ab}\\ &= (2\dot{E}_a - \dot{E}_b - \dot{E}_c)\dot{Y}_{ab} \\ &= (2\dot{E}_a - a^2\dot{E}_a - a\dot{E}_a)\dot{Y}_{ab} \\ &= \dot{E}_a(2 - a^2 - a)\dot{Y}_{ab} \\ &= 3\dot{E}_a\dot{Y}_{ab} \quad (a^2 + a = -1)\\ \end{aligned}

\(\dot{I}_a = -3a\)なので

\begin{aligned} -3a &= 3\dot{E}_a\dot{Y}_{ab} \\ -a &= \dot{E}_a\dot{Y}_{ab} \\ \dot{Y}_{ab} &= - \dfrac{a}{\dot{E}_a}\\ &= - \dfrac{a}{100}\\ &= - 0.01a\\ \end{aligned}

よって答えは(カ)の\(-0.01a\)です。

単相電力計の指示値\(W_{ac}\)

単相電力計がある部分の複素電力\(\dot{S}\)を求めます。電位差は\(\dot{E}_a - \dot{E}_c \)、電流は\(\dot{I}_a\)なので

\begin{aligned} \dot{S} &= \left( \dot{E}_a - \dot{E}_c \right) \bar{\dot{I}_a } \\ &= \left( \dot{E}_a - a \dot{E}_a \right) \cdot \left( -3 \bar{ a } \right) \\ &= \dot{E}_a(1 - a) \cdot \left(-3a^2 \right) \\ &= 3\dot{E}_a(1-a^2)\\ &= 300(1-a^2) \\ &= 300(1 + \dfrac{1}{2} + j\dfrac{\sqrt{3}}{2}) \\ &= 450 + j 150 \sqrt{3} \\ \end{aligned}

求めたい電力はこれの実部なので

\begin{aligned} W_{ac} &= \text{Re} \left[ 450 + j150\sqrt{3} \right] \\ &= 450 \\ \end{aligned}

よって答えは(ル)の\(450\)です。

線電流\(\dot{I}_{b}\)

問題にある\(\dot{I}_{b}\)の式より計算します。

\begin{aligned} \dot{I}_b &= (\dot{E}_b - \dot{E}_a) \dot{Y}_{ab} \\ &= 100(a^2 - 1) \cdot (-0.01a) \\ &= a - 1 \\ \end{aligned}

よって答えは(ヘ)の\(a-1\)です。

\(\Delta \)型不平衡負荷の消費電力

アドミタンス\(\dot{Y}_{ab}\)の複素電力を求めます。かかっている電圧は\(\dot{E}_b - \dot{E}_a\)、流れている電流は\(\dot{I}_b\)ですから

\begin{aligned} \dot{S_{ab}} &= (\dot{E}_b - \dot{E}_a) \overline{\dot{I}_b} \\ &= 100 (a^2 - 1) \cdot \overline{a - 1} \\ &= 100(a^2 - 1) (a^2 - 1) \\ &= 100 (a - 2a^2 + 1) \\ &= 100 (3 + 3a) \\ &= 150 + j150\sqrt{3} \\ \end{aligned}

アドミタンス\(\dot{Y}_{ca}\)にかかっている電圧の大きさは等しく、\(\dot{Y}_{ab} = \dot{Y}_{ca}\)なので上と同じ結果になるはずですが、念のため計算します。

試験では\(150 \times 2 = 300\)で答えを出していいでしょう。

\(\dot{I}_c = - \dot{I}_a - \dot{I}_b = 3a - a + 1 = 1+2a\)なので

\begin{aligned} \dot{S_{ca}} &= (\dot{E}_c - \dot{E}_a) \overline{\dot{I}_c} \\ &= 100(a - 1) \cdot \overline{1 + 2a} \\ &= 100(a - 1) (1 + 2a^2) \\ &= 100(a -1 + 2 -2a^2) \\ &= 100 (3 + 3a) \\ &= 150 + j150\sqrt{3} \\ \end{aligned}

同じ結果となりました。

問われているのは消費電力なので、これらの実部の和が答えとなります。

よって答えは(イ)の\(300\)です。

回生電力\(W_{bc}\)

(2)の答えは\(W_{ac}=450\)で、(4)の答えは\(300\)であり負荷の消費電力より単相電力計の指示値の方が大きいことが分かります。

そのため、\(W_{bc}\)の値は電源に戻る回生電力でなければつじつまが合わず、その値は\(300-450 = -150\)となります。

ただし、問題の条件より単相電力計は指示が逆振れしない接続とするので、答えは(ハ)の\(150\)となります。

こちらも計算してみます。なお、\(\dot{I}_b\)は(a)の条件の時とします。消費電力はどちらでも変わりません。

\begin{aligned} \dot{S} &= \left( \dot{E}_b - \dot{E}_c \right) \bar{\dot{I}_b } \\ &= \left( a^2 \dot{E}_a - a \dot{E}_a \right) \cdot \left( \overline{a-1} \right) \\ &= 100\left(a^2 - a \right) \cdot \left( a^2 - 1 \right) \\ &= 100\left(a -a^2 -1 +a \right) \\ &= 300a \\ &= 300\left(- \dfrac{1}{2} + j\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= -150 + j 150 \sqrt{3} \\ \end{aligned}

\(W_{bc}\)はこれの実部なので、やはり\(-150\)となりました。