misobonのサイト

解説

基本的な問題であり確実に解けるようにしておきたいところです。

電子が受ける\(y\)方向への力

電子が受ける力\(F\)の大きさは電荷量と電界の積であり、電界\(E\)は\(\dfrac{V}{D}\)で表されるので

\begin{aligned} F &= eE \\ &= \dfrac{eV}{D}\\ \end{aligned}

よって答えは(ヨ)の\(\displaystyle \frac{eV}{D}\)です。

電子に関する微分方程式

電子の受ける力は電子の質量と加速度\(a\)の積で表されます。加速度は位置の時間についての二階微分であり、これは(1)の力と等しいため、これらを整理すると

\begin{aligned} m_0 a &= \dfrac{eV}{D} \\ m_0 \frac{ \mathrm{d} ^2 y }{\mathrm{d} t^2} &= \dfrac{eV}{D} \\ \frac{ \mathrm{d} ^2 y }{\mathrm{d} t^2} &= \dfrac{eV}{m_0 D} \\ \end{aligned}

となりますので、答えは(ル)の\(\displaystyle \frac{eV}{m_0 D}\)です。

時間\(t_1\)と変異\(\Delta d\)の関係

(2)の式を計算して変位を求めます。

速度は加速度を時間で積分したものですから

\begin{aligned} \int \frac{d^2y}{dt^2} dt &= \int \frac{eV}{m_0D} dt \\ \frac{dy}{dt} &= \frac{eV}{m_0D} t + C_1 \quad (C_1は積分定数)\\ \end{aligned}

問題より、初速度は0であることから\(C_1 = 0\)なので、時刻\(t\)における速度\(v\)は

\begin{aligned} v &= \frac{eV}{m_0D} t \\ \end{aligned}

となります。変位はこれを時間で積分したものなので、

\begin{aligned} \int \frac{dy}{dt} dt &= \int \frac{eV}{m_0D} dt \\ y &= \frac{1}{2} \cdot \frac{eV}{m_0D} t^2 + C_2 \quad (C_2は積分定数) \end{aligned}

時刻\(t_1\)における変位\(\Delta d\)は、変位であることから初期位置\(C_2\)は0なことから

\begin{aligned} \Delta d &= \frac{eV t_1^2}{2m_0D} \\ \end{aligned}

となりますので、答えは(ロ)の\(\displaystyle \frac{eVt_1^2}{2m_0 D}\)です。

速度\(v_y\)

(3)の途中で求めた\(v\)に\(t=t_1\)を代入して\(v_y\)を求めます。

\begin{aligned} v_y &= \frac{eV}{m_0D} t_1 \\ \end{aligned}

(3)の答えより\(t_1\)を求めます。

\begin{aligned} \Delta d &= \frac{eV t_1^2}{2m_0D} \\ t_1^2 &= \frac{2m_0D \Delta d}{eV} \\ t_1 &= \sqrt{ \frac{2m_0D \Delta d}{eV}} \\ \end{aligned}

下の式を上の式に代入し\(t_1\)を消去します。

\begin{aligned} v_y &= \frac{eV}{m_0D} \cdot \sqrt{ \frac{2m_0D \Delta d}{eV}} \\ &= \sqrt{ \frac{2 eV \Delta d}{m_0D}} \\ \end{aligned}

よって答えは(ト)の\(\displaystyle \sqrt{\frac{2eV\Delta d}{m_0 D}}\)です。

スクリーンにたどり着くまでの\(y\)方向への変位

平行二枚板電極を通り過ぎた後、電子は\(x\)方向には速度\(v_x\)、\(y\)方向には速度\(v_y\)で等速度で運動します。

スクリーンまでの距離が\(L\)なので、電子がスクリーンに着くまでの時間\(t_2\)は\(\dfrac{L}{v_x}\)です。

その時の\(y\)方向の変位は\(v_y t_2\)で表されますので、これらより

\begin{aligned} v_y t_2 &= \dfrac{v_y }{v_x} L \\ \end{aligned}

となりますので、答えは(リ)の\(\displaystyle \frac{v_y }{v_x}L\)です。