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解説

Δ-Y変換が分かっていれば難しくはありませんが、計算に時間を要するかもしれません。

抵抗\(R_a\)

Δ-Y変換の公式に従いabcのΔをYに変換します。

参考:実践的な複素数計算法（3）ΔーY変換による回路の簡単化 | 音声付き電気技術解説講座 | 公益社団法人 日本電気技術者協会

\begin{aligned} R_a &= \frac{R_x (2 - R_x)}{R_x + 2 + (2 - R_x)} \\ &= \frac{-R_x^2 + 2R_x}{4} \end{aligned}

よって答えは(ハ)の\(\displaystyle \frac{-R_x^2+2R_x}{4}\)です。

抵抗\(R_b\)

同様にΔ-Y変換するだけですが、\(R_b\)は\(3-R_x\)との和になることだけに注意が必要です。

\begin{aligned} R_b &= \frac{2R_x }{R_x + 2 + (2 - R_x)} + 3 - R_x \\ &= \frac{R_x}{2} + 3 - R_x \\ &= \frac{-R_x + 6}{2} \end{aligned}

よって答えは(ワ)の\(\displaystyle \frac{-R_x+6}{2}\)です。

抵抗\(R_c\)

(2)と同様に計算します。

\begin{aligned} R_c &= \frac{2(2 - R_x)}{R_x + 2 + (2 - R_x)} + R_x \\ &= \frac{-R_x + 2}{2} + R_x \\ &= \frac{R_x + 2}{2} \end{aligned}

よって答えは(ロ)の\(\displaystyle \frac{R_x+2}{2}\)です。

回路全体の合成抵抗

回路全体の合成抵抗は\(R_b\)と\(R_c\)の並列接続と、\(R_a\)の和になるため

\begin{aligned} R_{ad} &= R_a + \frac{R_b R_c}{R_b + R_c} \\ &= \frac{-R_x^2 + 2R_x}{4} + \frac{\dfrac{-R_x + 6}{2} \times \dfrac{R_x + 2}{2}}{\dfrac{-R_x + 6}{2} + \dfrac{R_x + 2}{2}} \\ &= \frac{-R_x^2 + 2R_x}{4} + \frac{-R_x^2 + 4R_x + 12}{16} \\ &= \frac{-5R_x^2 + 12R_x + 12}{16} \end{aligned}

よって答えは(ヌ)の\(\displaystyle \frac{-5R_x^2+12R_x+12}{16}\)です。

回路全体の合成抵抗を最大にする\(R_x\)

微分して\( \dfrac{\mathrm {d} R_{ad}}{\mathrm {d} R_x} = 0 \)となる時の\(R_x\)を調べます。

(2)より磁束密度\(B_z = 2k\)であり、また問題に書いてある通り内部の磁束密度は\(\mu_0 J\)で一様なので

\begin{aligned} \dfrac{\mathrm {d} R_{ad}}{\mathrm {d} R_x} &= \frac{-10R_x + 12}{16} \\ 0 &= \frac{-10R_x + 12}{16} \\ R_x &= 1.2 \\ \end{aligned}

\( \dfrac{\mathrm {d}^2 R_{ad}}{\mathrm {d} R_x^2} \lt 0 \)なのでこの時の\(R_x\)は極大値です。よって答えは(ヘ)の\(1.2\)です。