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解説

磁気回路の問題は多くはないですが、難しいことは問われていないため冷静に解きたいところです。

磁気抵抗\(R_1\)

基本的な問題です。磁気抵抗は長さが長いほど大きくなり、断面積が大きいほど小さくなります。また、透磁率が大きいほど小さくなります。

抵抗からイメージできる内容をあてはめればそのまま答えになります。

答えは(ハ)の\(\displaystyle \frac{L}{\mu_r\mu_0S}\)です。

磁気抵抗\(R_2\)

(1)と同様の考えでOKですが空隙部分を含むためそれを考慮する必要があります。

空隙部分は長さ\(g\)、それ以外の部分の長さは\(l-g\)であり、全体としての磁気抵抗はこれらの直列接続になりますので

\begin{aligned} R_2 &= \frac{l-g}{\mu_r\mu_0S}+\frac{g}{\mu_0S} \\ \end{aligned}

となり、答えは(ヌ)の\(\displaystyle \frac{l-g}{\mu_r\mu_0S}+\frac{g}{\mu_0S}\)です。

磁気回路の方程式\(N_1 I_1\)

外側を周る磁気回路を考えたとき、起磁力は\(N_1 I_1\)、そこの磁束と磁気抵抗は\(R_1 \Phi_1 \)、\(R_3 \Phi_3 \)ですから

\begin{aligned} N_1 I_1 &= R_1\Phi_1+R_3\Phi_3 \\ \end{aligned}

となりますので、答えは(ル)の\(R_1\Phi_1+R_3\Phi_3\)です。

磁束\(\Phi_3\)

①～③の式を利用して磁束\(\Phi_3\)を求めます。

\begin{cases} \Phi_1 = \Phi_2 + \Phi_3 \quad & (1) \\ N_1I_1 = R_1\Phi_1 + R_3\Phi_3 \quad & (2) \\ N_1I_1 + N_2I_2 = R_1\Phi_1 + R_2\Phi_2 \quad & (3) \end{cases}

\(\Phi_2\) を消去します。

\begin{align*} N_1I_1 + N_2I_2 &= R_1\Phi_1 + R_2(\Phi_1 - \Phi_3) \\ N_1I_1 + N_2I_2 &= R_1\Phi_1 + R_2\Phi_1 - R_2\Phi_3 \\ (N_1I_1 + N_2I_2) &= (R_1 + R_2)\Phi_1 - R_2\Phi_3 \quad (4) \end{align*}

\(\Phi_1\) を消去します。

(2)式と(4)式から \(\Phi_1\) を消去します。(2)式を \(\Phi_1\) について解きます。

\begin{align*} R_1\Phi_1 &= N_1I_1 - R_3\Phi_3 \\ \Phi_1 &= \frac{N_1I_1 - R_3\Phi_3}{R_1} \quad (5) \end{align*}

(5)式を(4)式に代入します。

\begin{aligned} N_1I_1 + N_2I_2 &= (R_1 + R_2)\left(\frac{N_1I_1 - R_3\Phi_3}{R_1}\right) - R_2\Phi_3 \\ R_1(N_1I_1 + N_2I_2) &= (R_1 + R_2)(N_1I_1 - R_3\Phi_3) - R_1R_2\Phi_3 \\ \end{aligned}

式を展開して整理します。

\begin{align*} R_1N_1I_1 + R_1N_2I_2 &= R_1N_1I_1 - R_1R_3\Phi_3 + R_2N_1I_1 - R_2R_3\Phi_3 - R_1R_2\Phi_3 \\ R_1N_2I_2 - R_2N_1I_1 &= (-R_1R_3 - R_2R_3 - R_1R_2)\Phi_3 \\ R_2N_1I_1 - R_1N_2I_2 &= (R_1R_2 + R_2R_3 + R_3R_1)\Phi_3 \end{align*}

最後に \(\Phi_3\) について解きます。

\begin{aligned} \Phi_3 = \frac{R_2N_1I_1 - R_1N_2I_2}{R_1R_2 + R_2R_3 + R_3R_1} \\ \end{aligned}

よって答えは(チ)の\(\displaystyle \frac{R_2N_1I_1-R_1N_2I_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\)です。

主回路電流\(I_2\)

数値を代入して\(I_2\)を求めます。

\begin{aligned} \Phi_3 &= \frac{R_2N_1I_1 - R_1N_2I_2}{R_1R_2 + R_2R_3 + R_3R_1} \\ 0.5 \times 10^{-3} &= \frac{1.0 \times 10^7 \times 500 \times 0.9 - 2.0 \times 10^5 \times 2 \times I_2}{2.0 \times 10^5 \times 1.0 \times 10^7 + 1.0 \times 10^7 \times 2.0 \times 10^5 + 2.0 \times 10^5 \times 1.0 \times 10^5} \\ 0.5 \times 10^{-3} &= \frac{45000 \times 10^5 - 4I_2 \times 10^5}{404 \times 10^{10}} \\ 0.5 \times 10^{-3} \times 404 \times 10^{5} &= 45000 - 4I_2 \\ 20200 &= 45000 - 4I_2 \\ 4I_2 &= 24800 \\ I_2 &= 6200 \\ \end{aligned}

解答は[kA]とすることを求められているので答えは(ヲ)の\(6.2\)です。