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解説

難しいことは問われていないのでしっかり解きたい問題です。

網目方程式(1)

外側のループについて考えます。

\begin{aligned} R_1I_1+R_5(I_1-I_2)+R_6(I_1+I_3)&=E_1-E_2+E_3 \\ (R_1+R_5+R_6)I_1-R_5I_2+R_6I_3&=E_1-E_2+E_3 \end{aligned}

よって答えは(ロ)の\(R_1+R_5+R_6\)です。

網目方程式(2)

同様に右上のループについて考えます。

\begin{aligned} R_5(I_2-I_1)+R_2I_2+R_4(I_2+I_3)&=E_2 \\ -R_5I_1+(R_2+R_4+R_5)I_2+R_4I_3&=E_2 \end{aligned}

よって答えは(ヲ)の\(R_4\)です。

網目方程式(3)

同様の右下のループについて考えます。

\begin{aligned} R_6(I_1+I_3)+R_3I_3+R_4(I_2+I_3)&=E_3 \\ R_6I_1+R_4I_2+(R_3+R_4+R_6)I_3&=E_3 \end{aligned}

よって答えは(イ)の\(\displaystyle R_3+R_4+R_6\)です。

ここまでをまとめると

\begin{aligned} \begin{pmatrix} R_1+R_5+R_6 & -R_5 & R_6 \\ -R_5 & R_2+R_4+R_5 & R_4 \\ R_6 & R_4 & R_3+R_4+R_6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E_1-E_2+E_3 \\ E_2 \\ E_3 \end{pmatrix} \end{aligned}

となります。

抵抗が\(R\)の時の\(I_1\)

問題にある条件、\(R_1=R_2=R_3=R_4=R_5=R_6=R\)を適用とすると行列式は以下のようになります。

\begin{aligned} \begin{pmatrix} 3R & -R & R \\ -R & 3R & R \\ R & R & 3R \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E_1-E_2+E_3 \\ E_2 \\ E_3 \end{pmatrix} \end{aligned}

後はこれを解くだけです。クラメルの公式で解くのが一番速そうですが、本番で分からなくなった時の最終手段としてここでは連立方程式でやります。

\begin{cases} 3RI_1-RI_2+RI_3 = E_1-E_2+E_3 \quad & (1) \\ -RI_1+3RI_2+RI_3 = E_2 \quad & (2) \\ RI_1+RI_2+3RI_3 = E_3 \quad & (3) \end{cases}

\begin{cases} 3I_1 - I_2 + I_3 = \dfrac{E_1-E_2+E_3}{R} \quad & (4) \\ -I_1 + 3I_2 + I_3 = \dfrac{E_2}{R} \quad & (5) \\ I_1 + I_2 + 3I_3 = \dfrac{E_3}{R} \quad & (6) \end{cases}

(5)式と(6)式を足して \(I_1\) を消去します。

\begin{aligned} (-I_1+3I_2+I_3) + (I_1+I_2+3I_3) &= \frac{E_2}{R} + \frac{E_3}{R} \\ 4I_2 + 4I_3 &= \frac{E_2+E_3}{R} \\ I_2 + I_3 &= \frac{E_2+E_3}{4R} \quad (7) \\ \end{aligned}

3 × (5)式 と (4)式を足して \(I_1\) を消去します。

\begin{aligned} 3(-I_1+3I_2+I_3) + (3I_1-I_2+I_3) &= 3\frac{E_2}{R} + \frac{E_1-E_2+E_3}{R} \\ (-3I_1+9I_2+3I_3) + (3I_1-I_2+I_3) &= \frac{3E_2 + E_1-E_2+E_3}{R} \\ 8I_2 + 4I_3 &= \frac{E_1+2E_2+E_3}{R} \quad (8) \\ \end{aligned}

(7)式から \(I_3 = \dfrac{E_2+E_3}{4R} - I_2\) とし、(8)式に代入します。

\begin{aligned} 8I_2 + 4\left(\frac{E_2+E_3}{4R} - I_2\right) &= \frac{E_1+2E_2+E_3}{R} \\ 8I_2 + \frac{E_2+E_3}{R} - 4I_2 &= \frac{E_1+2E_2+E_3}{R} \\ 4I_2 &= \frac{E_1+2E_2+E_3 - (E_2+E_3)}{R} \\ 4I_2 &= \frac{E_1+E_2}{R} \\ I_2 &= \frac{E_1+E_2}{4R} \\ \end{aligned}

\(I_2\) の値を(7)式に代入して \(I_3\) を求めます。

\begin{aligned} \frac{E_1+E_2}{4R} + I_3 &= \frac{E_2+E_3}{4R} \\ I_3 &= \frac{E_2+E_3}{4R} - \frac{E_1+E_2}{4R} \\ I_3 &= \frac{E_2+E_3 - E_1 - E_2}{4R} \\ I_3 &= \frac{-E_1+E_3}{4R} \\ \end{aligned}

\(I_2\) と \(I_3\) の値を(6)式に代入して \(I_1\) を求めます。

\begin{aligned} I_1 + \left(\frac{E_1+E_2}{4R}\right) + 3\left(\frac{-E_1+E_3}{4R}\right) &= \frac{E_3}{R} \\ I_1 &= \frac{4E_3}{4R} - \frac{E_1+E_2}{4R} - \frac{-3E_1+3E_3}{4R} \\ I_1 &= \frac{4E_3 - E_1 - E_2 + 3E_1 - 3E_3}{4R} \\ I_1 &= \frac{2E_1-E_2+E_3}{4R} \\ \end{aligned}

結果をまとめると以下となります。

\begin{cases} I_1 = \dfrac{2E_1 - E_2 + E_3}{4R} \\ I_2 = \dfrac{E_1 + E_2}{4R} \\ I_3 = \dfrac{-E_1 + E_3}{4R} \end{cases}

よって答えは(ル)の\(\displaystyle \frac{2E_1-E_2+E_3}{4R}\)です。

抵抗が\(R\)の時の\(I_4\)

図より、\(I_4=I_2+I_3\)なので

\begin{align*} I_4 &= I_2 + I_3 \\ &= \frac{E_1 + E_2}{4R} + \frac{-E_1 + E_3}{4R} \\ &= \frac{(E_1 + E_2) + (-E_1 + E_3)}{4R} \\ &= \frac{E_1 + E_2 - E_1 + E_3}{4R} \\ &= \frac{E_2 + E_3}{4R} \end{align*}

よって答えは(カ)の\(\displaystyle \frac{E_2+E_3}{4R}\)です。