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解説

簡単な問題であり、他の受験者も高得点であろうことを考えるとしっかり正答したい問題です。

コンデンサAで誘電体中と空気中において等しいもの

多分答えを出すだけなら一種受験者ならすぐかと思います。答えは(ヘ)の電束密度です。

電束密度は誘電率によらないのでどちらも電束密度は等しくなります。

ここらへんの詳しい話は専門書の方がいいかと思います。

コンデンサAの静電容量

コンデンサAの静電容量\(C_A\)は、間隔\(\dfrac{2d}{3}\)のコンデンサと間隔\(\dfrac{d}{3}\)で比誘電率4のコンデンサとの直列接続なので

\begin{aligned} C_A &= \dfrac{\dfrac{3\varepsilon_0 a^2}{2d} \cdot \dfrac{12\varepsilon_0 a^2}{d}}{\dfrac{3\varepsilon_0 a^2}{2d} + \dfrac{12\varepsilon_0 a^2}{d}} \\ &= \dfrac{4\varepsilon_0 a^2}{3d} \\ \end{aligned}

となりますので、答えは(ロ)の\(\displaystyle \frac{4\varepsilon_0 a^2}{3d}\)です。

コンデンサBの静電容量

コンデンサBの静電容量\(C_B\)は、面積\(\dfrac{2a^2}{3}\)のコンデンサと面積\(\dfrac{a^2}{3}\)で比誘電率4のコンデンサとの並列接続なので

\begin{aligned} C_B &= \frac{2\varepsilon_0 a^2}{3d} + \frac{4\varepsilon_0 a^2}{3d} \\ &= \frac{2\varepsilon_0 a^2}{d} \\ \end{aligned}

となりますので、答えは(ヌ)の\(\displaystyle \frac{2\varepsilon_0 a^2}{d}\)です。

コンデンサAに印加できる最大電圧

問題文に「空気では絶縁破壊が起きないものとする」とあることから誘電体の電界が\(E\)の時が端子間に印加できる最大電圧であることが分かります。

この時の電束密度は

\begin{aligned} D &= 4 \varepsilon_0 E \\ \end{aligned}

です。これは空気中でも変わりませんので、空気中の電界は

\begin{aligned} \dfrac{D}{\varepsilon_0} &= 4 E \\ \end{aligned}

となります。端子間に印加できる最大電圧\(V_A\)は

\begin{aligned} V_A &= 4 E \cdot \dfrac{2d}{3} + E \dfrac{d}{3} \\ &= 3Ed \\ \end{aligned}

となりますので、答えは(ト)の\(3Ed\)です。

最大電圧が与えられた時に蓄えられる静電エネルギーの比較

コンデンサAに印加できる最大電圧は\(3Ed\)、コンデンサBに印加できる最大電圧は\(Ed\)と分かっていますのでこれで静電エネルギー\(W_A\)と\(W_B\)を計算します。

\begin{aligned} W_A &= \dfrac{1}{2} \cdot \frac{4\varepsilon_0 a^2}{3d} \cdot \left(3Ed\right)^2\\ &= 6 \varepsilon_0 a^2 E^2 d\\ \end{aligned}

\begin{aligned} W_B &= \dfrac{1}{2} \cdot \frac{2\varepsilon_0 a^2}{d} \cdot \left(Ed\right)^2\\ &= \varepsilon_0 a^2 E^2 d\\ \end{aligned}

よって蓄えられる静電エネルギーはAの方が大きいので、答えは(ヨ)です。