電験一種 H25年 理論 問4
次の文章は、pn接合ダイオードの電流に関する記述である。文中の(0)に当てはまるものを解答群の中から選びなさい。
pn接合ダイオードにおいて、平衡状態での\(n\)形半導体の正孔濃度を\(p_{n0}\)、温度を\(T\)、ボルツマン定数を\(k\)、単位電荷を\(q\)とする。\(p\)形半導体の正孔濃度は\(n\)形半導体の電子濃度よりも十分大きく、\(p\)形半導体の電子による拡散電流は無視できるものとする。pn接合部での空乏層が終わったところからの\(n\)形半導体内の位置を\(x\)とする。
電流が流れる方向に電圧\(V \gt 0\)が印加されると、\(x=0\)での\(n\)形半導体の正孔濃度は\(p_{n}(0)=p_{n0}\exp\left(\dfrac{qV}{kT}\right)\)となる。
この正孔濃度は\(n\)形半導体内を拡散していくと同時に再結合により平衡状態に落ち着くが、位置\(x\)での正孔濃度\(p_{n}(x)\)は拡散長\(L_{p}\)を使って\(p_{n}(x)-p_{n0}=[p_{n}(0)-p_{n0}]\exp\left(-\dfrac{x}{L_{p}}\right)\)となる。正孔濃度の濃度勾配は位置\(x\)により変わり、\(x\)で微分することで\(\dfrac{d p_{n}(x)}{d x}=\)(1)と求められる。この式の左辺に、負号、拡散定数\(D_{p}\)及び電荷を乗ずると、正孔による拡散電流は(2)で表され、位置\(x\)の関数となる。\(x\)の増加に伴い拡散電流は再結合によって減少し、この減少分は電子によるドリフト電流成分となる。よって、正孔により流れる電流は、拡散電流の最大値(3)と等しく、かつ\(p_{n}(0)\)は\(V\)の関数となるので、これを代入すると(4)が正孔による電流となる。
電圧\(V\)が負の場合を考える。この場合も同様の式が使えるが、電圧\(V\)の絶対値がある程度大きな値では正孔による電流は(5)となり、電圧に対して依存性を持たない逆方向飽和電流になることがわかる。
| (ｲ) | \(-\displaystyle \frac{qp_{n0}D_p}{L_p}\exp\left(-\frac{x}{L_p}\right)\) | (ﾛ)(5) | \(-q\displaystyle \frac{p_{n0}D_p}{L_p}\) | (ﾊ) | \(L_pp_{n}\left(0\right)\exp\left(-\displaystyle \frac{x}{L_p}\right)\) |
| (ﾆ)(4) | \(q\displaystyle \frac{p_{n0}D_p}{L_p}\left[\exp\left(\displaystyle \frac{qV}{kT}\right)-1\right]\) | (ﾎ)(3) | \(q\displaystyle \frac{D_p}{L_p}\left[p_{n}(0)-p_{n0}\right]\) | (ﾍ) | \(q\displaystyle \frac{D_p}{L_p}p_{n}\left( 0 \right)\) |
| (ﾄ)(1) | \(-\displaystyle \frac{1}{L_p}\left[p_{n}(0)-p_{n0}\right]\exp\left(-\frac{x}{L_p}\right)\) | (ﾁ) | \(-\displaystyle \frac{p_{n0}L_p}{D_p}\) | (ﾘ) | \(qD_pp_{n}(0)\) |
| (ﾇ) | \(-\displaystyle \frac{qp_{n0}D_p}{L_p}\displaystyle \frac{dp_n(x)}{dx}\) | (ﾙ) | \(-\displaystyle \frac{1}{L_p}p_{n0}\exp\left(-\frac{x}{L_p}\right)\) | (ｦ)(2) | \(-qD_p\displaystyle \frac{dp_n(x)}{dx}\) |
| (ﾜ) | 0 | (ｶ) | \(q\displaystyle \frac{p_{n0}D_p}{L_p}\exp\left(\displaystyle \frac{qV}{kT}\right)\) | (ﾖ) | \(qp_{n0}D_p\exp\left(\displaystyle \frac{qV}{kT}\right)\) |
出典:平成25年度第一種電気主任技術者理論科目A問題問4
解説
電験一種ではたまにある一見難しそうですがよく読むと簡単な計算で解ける問題です。
正孔濃度の濃度勾配\(\dfrac{d p_{n}(x)}{d x}\)
問題文に\(p_{n}(x)-p_{n0}=[p_{n}(0)-p_{n0}]\exp\left(-\dfrac{x}{L_{p}}\right)\)が与えられていますので、これより\(p_{n}(x)\)は
\begin{aligned} p_{n}(x)=[p_{n}(0)-p_{n0}]\exp\left(-\dfrac{x}{L_{p}}\right) + p_{n0} \\ \end{aligned}
となります。これを\(x\)で微分します。
\begin{aligned} \frac{d p_n(x)}{dx} = -\displaystyle \frac{1}{L_p}\left[p_{n}(0)-p_{n0}\right]\exp\left(-\frac{x}{L_p}\right) \\ \end{aligned}
よって答えは(ト)の\(-\displaystyle \frac{1}{L_p}\left[p_{n}(0)-p_{n0}\right]\exp\left(-\frac{x}{L_p}\right)\)です。
正孔による拡散電流
(1)式の左辺に、負号、拡散定数\(D_{p}\)及び電荷を乗ずるとありますのでその通りにします。
\begin{aligned} \frac{d p_n(x)}{dx} \cdot \left( - qD_{p}\right) = - qD_{p} \frac{d p_n(x)}{dx} \\ \end{aligned}
よって答えは(ヲ)の\(-qD_p\displaystyle \frac{dp_n(x)}{dx}\)です。
拡散電流の最大値
(2)を計算しますと、(1)右辺より
\begin{aligned} - qD_{p} \frac{d p_n(x)}{dx} &= -qD_{p} \cdot \left\{ -\displaystyle \frac{1}{L_p}\left[p_{n}(0)-p_{n0}\right]\exp\left(-\frac{x}{L_p}\right) \right\}\\ &= q \dfrac{D_{p}}{L_p}\left[ p_n(0) - p_{n0} \right] \exp\left(-\frac{x}{L_p}\right) \\ \end{aligned}
となります。
\(x\)の増加に伴い拡散電流は再結合によって減少するので、\(x=0\)の時これは最大値をとります。
上記の式に\(x=0\)を代入すると
\begin{aligned} q \dfrac{D_{p}}{L_p}\left[ p_n(0) - p_{n0} \right] \exp\left(-\frac{0}{L_p}\right) &= q \dfrac{D_{p}}{L_p}\left[ p_n(0) - p_{n0} \right] \\ \end{aligned}
となりますので、答えは(ホ)の\(q\displaystyle \frac{D_p}{L_p}\left[p_{n}(0)-p_{n0}\right]\)です。
正孔による電流
問題文に\(p_{n}(0)=p_{n0}\exp\left(\dfrac{qV}{kT}\right)\)とありますので、これを(3)の答えに代入します。
\begin{aligned} q \dfrac{D_{p}}{L_p}\left[ p_n(0) - p_{n0} \right] &= q \dfrac{D_{p}}{L_p}\left[ p_{n0}\exp\left(\dfrac{qV}{kT}\right) - p_{n0} \right] \\ &= q \frac{p_{n0}D_p}{L_p}\left[\exp\left(\displaystyle \frac{qV}{kT}\right)-1\right] \end{aligned}
よって答えは(ニ)の\(q\displaystyle \frac{p_{n0}D_p}{L_p}\left[\exp\left(\displaystyle \frac{qV}{kT}\right)-1\right]\)です。
電圧\(V\)が負の場合に電圧\(V\)の絶対値がある程度大きな値での正孔による電流
(4)の電圧が負の場合を考えます。
\begin{aligned} q \frac{p_{n0}D_p}{L_p}\left[\exp\left(\displaystyle -\frac{qV}{kT}\right)-1\right] \end{aligned}
この時、\(V\)の絶対値が大きくなると\(\exp\left(\displaystyle -\frac{qV}{kT}\right)\)は0に近づきます。
ここを無視すると上の式は
\begin{aligned} q \frac{p_{n0}D_p}{L_p}\left[0 -1\right] &= -q \frac{p_{n0}D_p}{L_p} \end{aligned}
となることが分かります。よって答えは(ロ)の\(-q\displaystyle \frac{p_{n0}D_p}{L_p}\)です。