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解説

マクスウェルの方程式がある程度分かれば後半は難しくない計算問題になりますが、逆に序盤を落とすと全て不正解になる可能性もある問題です。

厳密な内容は専門書を読んでください。とても自分に説明できる内容ではないので。

電界\(\bf{E}\)について成り立つこと

マクスウェル方程式より

\begin{aligned} \nabla \times \boldsymbol{E} &= -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \\ \end{aligned}

ここで、この問題においては静電界であることから時間変化がなく右辺が0になるため、

\begin{aligned} \nabla \times \boldsymbol{E} &= 0 \\ \end{aligned}

となります。よって答えは(イ)の\(\rm{rot}\boldsymbol{E}=0\)です。

法則の名前

一種受験者であれば法則名が分からなくても消去法で解けそうな問題です。答えは(ヌ)のガウスです。

ガウスの法則は電気量と電気力線の数の関係を表した法則です。

電荷が存在しないため成り立つ\(\text{div}\bf{E}\)

\(\text{div}\)の定義を知っているか知っていないかだけだと思います。

\begin{aligned} \operatorname{div} \mathbf{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \\ \end{aligned}

今回電界\(\bf{E}\)は\(z\)の関数ではないので\(\displaystyle \frac{\partial A_z}{\partial z} \)の部分は常に0です。

よって

\begin{aligned} \operatorname{div} \mathbf{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} \\ \end{aligned}

となりますので、答えは(チ)の\(\displaystyle \frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}\)です。

式から導かれる\(a\sim f\)の関係式

まず電界\(\mathbf{E}\)を計算します。

\begin{aligned} \bf{E} &= - \operatorname{grad} \phi \left( x, y \right) \\ &= \left( -2ax -by - d , -bx -2cy -e , 0 \right) \\ \end{aligned}

(3)に従い\(\operatorname{div} \mathbf{E}\)を計算します。

\begin{aligned} \operatorname{div} \mathbf{E} &= \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} \\ &= -2a -2c \\ \end{aligned}

問題にある通り、\(\operatorname{div} \mathbf{E}=0\)なので、

\begin{aligned} -2a -2c &= 0 \\ a+c&=0 \end{aligned}

となりますので、答えは(ロ)の\(a+c=0\)です。

原点の電位\(\phi_0=\phi(0, 0)=f\)

問題文にある通り、まずは\(\phi_1\sim\phi_4\)を求めます。

\begin{aligned} \phi_1 &= \phi(h, 0) \\ &= ah^2 + dh + f \\ \end{aligned}

\begin{aligned} \phi_2 &= \phi(0, h) \\ &= ch^2 + eh + f \\ \end{aligned}

\begin{aligned} \phi_3 &= \phi(-h, 0) \\ &= ah^2 - dh + f \\ \end{aligned}

\begin{aligned} \phi_4 &= \phi(0, -h) \\ &= ch^2 - eh + f \\ \end{aligned}

この4つの式から\(f\)を求めます。

\begin{aligned} \phi_1 + \phi_2 + \phi_3 + \phi_4 &= 4f + ah^2 + dh + ch^2 + eh + ah^2 - dh +ch^2 - eh \\ \phi_1 + \phi_2 + \phi_3 + \phi_4 &= 4f + \left(2a + 2c\right)h^2 \\ \end{aligned}

(4)より、上式の括弧の中身は0となるので

\begin{aligned} 4f &= \phi_1 + \phi_2 + \phi_3 + \phi_4 \\ f &= \dfrac{\phi_1 + \phi_2 + \phi_3 + \phi_4 }{4} \\ \end{aligned}

となります。よって答えは(ハ)の\(\displaystyle \frac{\phi_1+\phi_2+\phi_3+\phi_4}{4}\)です。