電験一種 H24年 理論 問5
次の文章は，三相交流回路に関する記述である。文中の(0)に当てはまるものを解答群の中から選びなさい。
図に示すように，対称三相交流電源にY形不平衡負荷及び3個の電力計を接続した。\(\dot{E}_{a}=100\angle0^{\circ}\) [V]であり，相回転は \(\dot{E}_{a}\)，\(\dot{E}_{b}\)，\(\dot{E}_{c}\) の順とする。このとき線電流 \(\dot{I}_{a}\)，\(\dot{I}_{b}\) はそれぞれ \(\dot{E}_{a}\)，\(\dot{E}_{b}\) と同相となり，\(\dot{I}_{a}=5\angle0^{\circ}\) [A] であった。また，電力計の値は \(W_{a}=250\) [W]，\(W_{b}=500\) [W]，\(W_{bc}=1~500\) [W] であった。\(a=e^{j\frac{2\pi}{3}}\) とおくと，線電流 \(\dot{I}_{b}\) の条件から \(\dot{I}_{b}=|\dot{I}_{b}| \times\) (1) である。
\(W_{bc}=Re[(\dot{E}_{b}-\dot{E}_{c})\overline{\dot{I}_{b}}]\) 及び \(a^{3}=1\) を利用すると，\(\dot{I}_{b}=\) (2) [A] となり，\(\dot{I}_{c}\) も \(\dot{I}_{a}\)と\(\dot{I}_{b}\)から計算できる。このとき，各負荷の消費電力の総和は \(Re[(\dot{E}_{a}-\dot{V}_{n})\overline{\dot{I}_{a}}+(\dot{E}_{b}-\dot{V}_{n})\overline{\dot{I}_{b}}+(\dot{E}_{c}-\dot{V}_{n})\overline{\dot{I}_{c}}]=Re[( \) (3) \( )\overline{\dot{I}_{a}} ] + W_{bc}\) となる。この式の右辺第一項の複素数の計算を行うと，\(W_{bc}=1~500\) [W] であるからY形負荷全体の消費電力は (4) [W] と求められる。
以上のことから，各負荷の消費電力と電流の大きさを考えることにより，各負荷の抵抗成分の総和 \(Re[\dot{Z}_{a}]+Re[\dot{Z}_{b}]+Re[\dot{Z}_{c}]\) は (5) [Ω]と求まる。
（注）\(Re[\dot{Z}]\) は複素数 \(\dot{Z}\) の実部を表す。
\(\overline{\dot{Z}}\) は複素数 \(\dot{Z}\) の共役複素数を表す。
| (ｲ) | 50a | (ﾛ)(5) | 35 | (ﾊ) | 2200 | (ﾆ) | 20a |
| (ﾎ) | \(\dot{E}_a - \dot{E}_b\) | (ﾍ) | 2000 | (ﾄ)(3) | \(\dot{E}_a - \dot{E}_c\) | (ﾁ) | 1 |
| (ﾘ)(4) | 2250 | (ﾇ) | 40 | (ﾙ)(1) | \(a^2\) | (ｦ) | \(\dot{E}_b - \dot{E}_c\) |
| (ﾜ)(2) | \(10a^2\) | (ｶ) | 50 | (ﾖ) | \(a\) |
出典:平成24年度第一種電気主任技術者理論科目B問題問5
解説
時間は掛かりますが、計算でしっかり解ける問題なのでこのような問題は確実に解けるようにしておきたいです。
線電流 \(\dot{I}_{b}\) の条件からいえる \(\dot{I}_{b}\)
問題文に線電流\(\dot{I}_{b}\)は\(\dot{E}_{b}\)と同相とあります。対称三相交流電源ですから、\(\dot{E}_{b} = \dot{E}_{a} \times a^2 = 100a^2\)です。\(\dot{I}_{b}\)はこれに同相なので、\(\dot{I}_{b}=|\dot{I}_{b}| \times a^2\) がいえます。
答えは(ル)の\(a^2\)です。
\(\dot{I}_{b}\)を求める
\(\overline{\dot{I}_{b}} = \overline{|\dot{I}_{b}| \times a^2 } = |\dot{I}_{b}| \times a\)なこと、\(a^3 = 1 \)、問題中の数値を使用して\(\dot{I}_{b}\)を求めます。
\begin{aligned} W_{bc} &= Re[(\dot{E}_{b}-\dot{E}_{c})\overline{\dot{I}_{b}}] \\ 1500 &= Re[(100a^2 - 100a ) |\dot{I}_{b}| a ]\\ 1500 &= Re[(100 - 100a^2 ) |\dot{I}_{b}|]\\ 1500 &= Re \left[ \left\{ 100 - 100 ( -\dfrac{1}{2} - j \dfrac{\sqrt{3}}{2} ) \right\} |\dot{I}_{b}| \right]\\ 1500 &= Re \left[ \left( 150 + j 50\sqrt{3} \right) |\dot{I}_{b}| \right]\\ 1500 &= 150 |\dot{I}_{b}| \\ |\dot{I}_{b}| &= 10 \\ \end{aligned}
\(\dot{I}_{b}\)は、(1)より
\begin{aligned} \dot{I}_{b} &= |\dot{I}_{b}| \times a^2 \\ &= 10a^2 \\ \end{aligned}
です。よって答えは(ワ)の\(10a^2\)です。
各負荷の消費電力の総和
\( \overline{\dot{I}_{a} } + \overline{\dot{I}_{b} } + \overline{\dot{I}_{c} } =0 \)であることを利用して式を整理します。
\begin{aligned} (\dot{E}_{a}-\dot{V}_{n})\overline{\dot{I}_{a}}+(\dot{E}_{b}-\dot{V}_{n})\overline{\dot{I}_{b}}+(\dot{E}_{c}-\dot{V}_{n})\overline{\dot{I}_{c}} &= \dot{E}_{a}\overline{\dot{I}_{a}}+\dot{E}_{b}\overline{\dot{I}_{b}}+\dot{E}_{c}\overline{\dot{I}_{c}} - \dot{V}_{n} ( \overline{\dot{I}_{a}} + \overline{\dot{I}_{b}} + \overline{\dot{I}_{c}} )\\ \end{aligned}
\( \overline{\dot{I}_{a} } + \overline{\dot{I}_{b} } + \overline{\dot{I}_{c} } =0 \)および\( \overline{\dot{I}_{c} } =- \overline{\dot{I}_{a} } - \overline{\dot{I}_{b} } \)より
\begin{aligned} \dot{E}_{a}\overline{\dot{I}_{a}}+\dot{E}_{b}\overline{\dot{I}_{b}}+\dot{E}_{c}\overline{\dot{I}_{c}} - \dot{V}_{n} ( \overline{\dot{I}_{a}} + \overline{\dot{I}_{b}} + \overline{\dot{I}_{c}} ) &= \dot{E}_{a}\overline{\dot{I}_{a}}+\dot{E}_{b}\overline{\dot{I}_{b}}+\dot{E}_{c} ( -\overline{\dot{I}_{a}} -\overline{\dot{I}_{b}} )\\ &= (\dot{E}_{a} - \dot{E}_{c}) \overline{\dot{I}_{a}} + (\dot{E}_{b} - \dot{E}_{c}) \overline{\dot{I}_{b}} \\ \end{aligned}
これの実部が負荷の消費電力の総和なので
\begin{aligned} Re[ (\dot{E}_{a} - \dot{E}_{c}) \overline{\dot{I}_{a}} + (\dot{E}_{b} - \dot{E}_{c}) \overline{\dot{I}_{b}} ] &= Re[ (\dot{E}_{a} - \dot{E}_{c}) \overline{\dot{I}_{a}} ] + Re[ (\dot{E}_{b} - \dot{E}_{c}) \overline{\dot{I}_{b}} ]\\ \end{aligned}
\(W_{bc} = Re[ (\dot{E}_{b} - \dot{E}_{c}) \overline{\dot{I}_{b}} ] \)より
\begin{aligned} Re[ (\dot{E}_{a} - \dot{E}_{c}) \overline{\dot{I}_{a}} ] + Re[ (\dot{E}_{b} - \dot{E}_{c}) \overline{\dot{I}_{b}} ] &= Re[ (\dot{E}_{a} - \dot{E}_{c}) \overline{\dot{I}_{a}} ] + W_{bc} \\ \end{aligned}
よって答えは(ト)の\(\dot{E}_a - \dot{E}_c\)です。
Y型負荷全体の消費電力
\(Re[ (\dot{E}_{a} - \dot{E}_{c}) \overline{\dot{I}_{a}} ]\)を計算します。
\begin{aligned} Re[ (\dot{E}_{a} - \dot{E}_{c}) \overline{\dot{I}_{a}} ] &= Re[(100 - 100a) \times 5]\\ &= Re \left[500 - 500(-\dfrac{1}{2} + j \dfrac{\sqrt{3}}{2}) \right] \\ &= Re \left[ 500 + 250 - j250\sqrt{3} \right] \\ &= 750 \\ \end{aligned}
Y型負荷全体の消費電力はこれに\(W_{bc}\)を足したものなので
\begin{aligned} Re[ (\dot{E}_{a} - \dot{E}_{c}) \overline{\dot{I}_{a}} ] + W_{bc} &= 750 + 1500 \\ &= 2250 \\ \end{aligned}
よって答えは(リ)の2250です。
各負荷の抵抗成分の総和
\(\dot{Z}_{c} \)で消費される電力\(W_{c}\)は、\(W_{a} \)、\(W_{b} \)、(4)のY型負荷全体の消費電力より
\begin{aligned} W_{a} + W_{a} + W_{c} &= 2250 \\ W_{c} &= 2250 - 250 -500 \\ &= 1500 \\ \end{aligned}
また、\( \dot{I}_{c} =- \dot{I}_{a} -\dot{I}_{b} \)より
\begin{aligned} \dot{I}_{c} &= - \dot{I}_{a} -\dot{I}_{b} \\ &= -5 -10a^2\\ &= j5\sqrt{3} \\ \end{aligned}
これより各負荷の抵抗成分を求めます。
\begin{aligned} Re[ \dot{Z}_{a } ] | \dot{I}_{a } | ^2 &= W_{a} \\ Re[ \dot{Z}_{a } ] \times 5 ^2 &= 250 \\ Re[ \dot{Z}_{a } ] &= 10 \\ \end{aligned}
\begin{aligned} Re[ \dot{Z}_{b } ] | \dot{I}_{b } | ^2 &= W_{b} \\ Re[ \dot{Z}_{b } ] \times 10^2 &= 500 \\ Re[ \dot{Z}_{b } ] &= 5 \\ \end{aligned}
\begin{aligned} Re[ \dot{Z}_{c} ] | \dot{I}_{c} | ^2 &= W_{c} \\ Re[ \dot{Z}_{c} ] \times \left( 5 \sqrt{3} \right) ^2 &= 1500 \\ Re[ \dot{Z}_{c} ] &= 20 \\ \end{aligned}
以上より
\begin{aligned} Re[\dot{Z}_{a}]+Re[\dot{Z}_{b}]+Re[\dot{Z}_{c}] &= 10 + 5+ 20 \\ &= 35 \\ \end{aligned}
よって答えは(ロ)の35です。
- (1)ル \(a^2\)
- (2)ワ \(10a^2\)
- (3)ト \(\dot{E}_a - \dot{E}_c\)
- (4)リ 2250
- (5)ロ 35